Algèbre Exemples

$\frac{1}{2}$ , $- \frac{1}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $- \frac{1}{16}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $- \frac{1}{2}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = - \frac{1}{2}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = \frac{1}{2}$ et $r = - \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1})$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Étape 5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{2^{n - 1}})$

Étape 6

Associez ${(- 1)}^{n - 1}$ et $\frac{1}{2^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Étape 7

Associez.

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2 \cdot 2^{n - 1}}$

Étape 8

Multipliez $2$ par $2^{n - 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1

Multipliez $2$ par $2^{n - 1}$ .

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Étape 8.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}$

Étape 8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{1 + n - 1}}$

Étape 8.2

Associez les termes opposés dans $1 + n - 1$ .

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Étape 8.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{n + 0}}$

Étape 8.2.2

Additionnez $n$ et $0$ .

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{n}}$

Étape 9

Multipliez ${(- 1)}^{n - 1}$ par $1$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2^{n}}$

Étape 10

Remplacez dans la valeur de $n$ pour déterminer le $n$ ième terme.

$a_{5} = \frac{{(- 1)}^{(5) - 1}}{2^{5}}$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$a_{5} = \frac{{(- 1)}^{4}}{2^{5}}$

Étape 11.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$a_{5} = \frac{1}{2^{5}}$

Étape 12

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$a_{5} = \frac{1}{32}$