Algèbre Exemples

$\sqrt{x^{3} + 1}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{3} + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{3} + 1 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{3} \geq - 1$

Étape 2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{3} + 1 \geq 0$

Étape 2.3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} + 1 = 0$

Étape 2.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Étape 2.4.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 2.4.3

Simplifiez

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Étape 2.4.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Étape 2.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Étape 2.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.7

Définissez $x^{2} - x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.7.1

Définissez $x^{2} - x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Étape 2.7.2

Résolvez $x^{2} - x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3

Simplifiez

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Étape 2.7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.2.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.7.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.2.4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.7.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.4.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.7.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.7.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.2.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.7.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.5.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.7.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.7.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ vraie.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.9

Identifiez le coefficient directeur.

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Étape 2.9.1

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$x^{3}$

Étape 2.9.2

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$1$

Étape 2.10

Comme il n’y a pas d’abscisse à l’origine réelle et comme le coefficient directeur est positif, le parabole ouvre vers le haut et $x^{3} + 1$ est toujours supérieur à $0$ .

Tous les nombres réels

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4