Algèbre Exemples

$\sqrt{\frac{2 x}{x + 9} - 1}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\frac{2 x}{x + 9} - 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{2 x}{x + 9} - 1 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Simplifiez $\frac{2 x}{x + 9} - 1$ .

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Étape 2.1.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{2 x}{x + 9} - 1 \cdot \frac{x + 9}{x + 9} \geq 0$

Étape 2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1.2.1

Associez $- 1$ et $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{2 x}{x + 9} + \frac{- (x + 9)}{x + 9} \geq 0$

Étape 2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x - (x + 9)}{x + 9} \geq 0$

Étape 2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - x - 1 \cdot 9}{x + 9} \geq 0$

Étape 2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{2 x - x - 9}{x + 9} \geq 0$

Étape 2.1.3.3

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$\frac{x - 9}{x + 9} \geq 0$

Étape 2.2

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 9 = 0$

$x + 9 = 0$

Étape 2.3

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 2.4

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 2.5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 9$

$x = - 9$

Étape 2.6

Consolidez les solutions.

$x = 9, - 9$

Étape 2.7

Déterminez le domaine de $\frac{2 x}{x + 9} - 1$ .

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Étape 2.7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x}{x + 9}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 9 = 0$

Étape 2.7.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 2.7.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

Étape 2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 9$

$- 9 < x < 9$

$x > 9$

Étape 2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 12$

Étape 2.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 12$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 12)}{(- 12) + 9} - 1 \geq 0$

Étape 2.9.1.3

Le côté gauche $7$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 9 < x < 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 9 < x < 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (0)}{(0) + 9} - 1 \geq 0$

Étape 2.9.2.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 2.9.3.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (12)}{(12) + 9} - 1 \geq 0$

Étape 2.9.3.3

Le côté gauche $0.\overline{142857}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 9$ Vrai

$- 9 < x < 9$ Faux

$x > 9$ Vrai

$x < - 9$ Vrai

$- 9 < x < 9$ Faux

$x > 9$ Vrai

Étape 2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 9$ ou $x \geq 9$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x}{x + 9}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 9 = 0$

Étape 4

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 9) \cup [9, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < - 9, x \geq 9}$

Étape 6