Algèbre Exemples

$f (x) = x^{4} + 27 x^{2} - 324$

Étape 1

Définissez $x^{4} + 27 x^{2} - 324$ égal à $0$ .

$x^{4} + 27 x^{2} - 324 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} + 27 u - 324 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2.2

Factorisez $u^{2} + 27 u - 324$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 324$ et dont la somme est $27$ .

$- 9, 36$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 9) (u + 36) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 9 = 0$

$u + 36 = 0$

Étape 2.4

Définissez $u - 9$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $u - 9$ égal à $0$ .

$u - 9 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 9$

Étape 2.5

Définissez $u + 36$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $u + 36$ égal à $0$ .

$u + 36 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $36$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 36$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 9) (u + 36) = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$u = 9$ (Multiplicité de $1$ )

$u = - 36$ (Multiplicité de $1$ )

Étape 2.7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = - 36$

Étape 2.8

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 9$

Étape 2.9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 2.9.2

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 2.9.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.9.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 2.9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 2.9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 2.9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 2.9.4

La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît. Par exemple, un facteur de ${(x + 5)}^{3}$ aurait une racine sur $x = - 5$ avec une multiplicité de $3$ .

$x = 3$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 3$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 3$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 3$ (Multiplicité de $1$ )

Étape 2.10

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 36$

Étape 2.11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.11.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = - 36$

Étape 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 36}$

Étape 2.11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 36}$ .

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Étape 2.11.3.1

Réécrivez $- 36$ comme $- 1 (36)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

Étape 2.11.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (36)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

Étape 2.11.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

Étape 2.11.3.4

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

Étape 2.11.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 6$

Étape 2.11.3.6

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 6 i$

Étape 2.11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 6 i$

Étape 2.11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 6 i$

Étape 2.11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 6 i, - 6 i$

Étape 2.11.5

La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît. Par exemple, un facteur de ${(x + 5)}^{3}$ aurait une racine sur $x = - 5$ avec une multiplicité de $3$ .

$x = 6 i$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 6 i$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 6 i$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 6 i$ (Multiplicité de $1$ )

Étape 2.12

La solution à $x^{4} + 27 x^{2} - 324 = 0$ est $x = 3, - 3, 6 i, - 6 i$ .

$x = 3, - 3, 6 i, - 6 i$

Étape 3