Algèbre Exemples

$2 y + 2 y \geq 4 y + 7 y + 2 + 8 + y^{2}$

Étape 1

Réécrivez de sorte que $y$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$4 y + 7 y + 2 + 8 + y^{2} \leq 2 y + 2 y$

Étape 2

Simplifiez $4 y + 7 y + 2 + 8 + y^{2}$ .

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Étape 2.1

Additionnez $4 y$ et $7 y$ .

$11 y + 2 + 8 + y^{2} \leq 2 y + 2 y$

Étape 2.2

Additionnez $2$ et $8$ .

$11 y + 10 + y^{2} \leq 2 y + 2 y$

Étape 3

Additionnez $2 y$ et $2 y$ .

$11 y + 10 + y^{2} \leq 4 y$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 4.1

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’inégalité.

$11 y + 10 + y^{2} - 4 y \leq 0$

Étape 4.2

Soustrayez $4 y$ de $11 y$ .

$7 y + 10 + y^{2} \leq 0$

Étape 5

Convertissez l’inégalité en une équation.

$7 y + 10 + y^{2} = 0$

Étape 6

Factorisez $7 y + 10 + y^{2}$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $10$ et dont la somme est $7$ .

$2, 5$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(y + 2) (y + 5) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y + 2 = 0$

$y + 5 = 0$

Étape 8

Définissez $y + 2$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Définissez $y + 2$ égal à $0$ .

$y + 2 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 2$

Étape 9

Définissez $y + 5$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 9.1

Définissez $y + 5$ égal à $0$ .

$y + 5 = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 5$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y + 2) (y + 5) = 0$ vraie.

$y = - 2, - 5$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$y < - 5$

$- 5 < y < - 2$

$y > - 2$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $y < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = - 8$

Étape 12.1.2

Remplacez $y$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$2 (- 8) + 2 (- 8) \geq 4 (- 8) + 7 (- 8) + 2 + 8 + {(- 8)}^{2}$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $- 32$ est inférieur au côté droit $- 14$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < y < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < y < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = - 4$

Étape 12.2.2

Remplacez $y$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$2 (- 4) + 2 (- 4) \geq 4 (- 4) + 7 (- 4) + 2 + 8 + {(- 4)}^{2}$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $- 16$ est supérieur au côté droit $- 18$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $y > - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y > - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 0$

Étape 12.3.2

Remplacez $y$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 (0) + 2 (0) \geq 4 (0) + 7 (0) + 2 + 8 + {(0)}^{2}$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$y < - 5$ Faux

$- 5 < y < - 2$ Vrai

$y > - 2$ Faux

$y < - 5$ Faux

$- 5 < y < - 2$ Vrai

$y > - 2$ Faux

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 \leq y \leq - 2$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 5 \leq y \leq - 2$

Notation d’intervalle :

$[- 5, - 2]$

Étape 15