Algèbre Exemples

$3 {(x - 2)}^{2} - {(x - 5)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez ${(x - 5)}^{2}$ comme $(x - 5) (x - 5)$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - ((x - 5) (x - 5))$

Étape 1.1.1.2

Développez $(x - 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x (x - 5) - 5 (x - 5))$

Étape 1.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5))$

Étape 1.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Étape 1.1.1.3.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Étape 1.1.1.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 x - 5 x + 25)$

Étape 1.1.1.3.2

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 10 x + 25)$

Étape 1.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25$

Étape 1.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.1.5.1

Multipliez $- 10$ par $- 1$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25$

Étape 1.1.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 25$

Étape 1.1.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$- x^{2} + 3 ((x - 2) (x - 2)) + 10 x - 25$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} + 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 10 x - 25$

Étape 1.2.1.1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 4 x + 4) + 10 x - 25$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

Étape 1.2.1.1.5.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

Étape 1.2.1.2

Additionnez $- x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

Étape 1.2.1.3

Additionnez $- 12 x$ et $10 x$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 - 25$

Étape 1.2.1.4

Soustrayez $25$ de $12$ .

$2 x^{2} - 2 x - 13$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 2$

$b = - 2$

$c = - 13$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (2)}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{2}$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 13 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 2)}^{2}$ et $2$ .

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$e = - 13 - \frac{{(- 1 (2))}^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (2)$ .

$e = - 13 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = - 13 - \frac{1 \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.1.1.4

Multipliez $2^{2}$ par $1$ .

$e = - 13 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.1.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2^{2}$ .

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \cdot 2$ .

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Étape 1.2.5.2.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Étape 1.2.5.2.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e = - 13 - \frac{1}{2}$

Étape 1.2.5.2.2

Pour écrire $- 13$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e = - 13 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 1.2.5.2.3

Associez $- 13$ et $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 13 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 1.2.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 13 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 1.2.5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.5.1

Multipliez $- 13$ par $2$ .

$e = \frac{- 26 - 1}{2}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Soustrayez $1$ de $- 26$ .

$e = \frac{- 27}{2}$

Étape 1.2.5.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{27}{2}$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$ .

$2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = 2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 2$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{27}{2}$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{27}{2})$

Étape 4