Algèbre Exemples

$f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x - 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.5.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 + 0$

Étape 1.6.2

Additionnez $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$ et $0$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 2.4.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6 + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $- 12 x^{2} - 12 x + 6$ et $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 12 x + 6$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 4.1.5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.5.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 + 0$

Étape 4.1.6.2

Additionnez $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$ et $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 5 = 0$

Étape 5.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 1.94101027, - 0.61173103, 1.0527413$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 1.94101027, - 0.61173103, 1.0527413$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1.94101027$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(- 1.94101027)}^{2} - 12 \cdot - 1.94101027 + 6$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 1.94101027$ à la puissance $2$ .

$- 12 \cdot 3.76752087 - 12 \cdot - 1.94101027 + 6$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 12$ par $3.76752087$ .

$- 45.21025053 - 12 \cdot - 1.94101027 + 6$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 12$ par $- 1.94101027$ .

$- 45.21025053 + 23.29212326 + 6$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $- 45.21025053$ et $23.29212326$ .

$- 21.91812726 + 6$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 21.91812726$ et $6$ .

$- 15.91812726$

Étape 10

$x = - 1.94101027$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1.94101027$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 1.94101027$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.94101027$ dans l’expression.

$f (- 1.94101027) = - {(- 1.94101027)}^{4} - 2 {(- 1.94101027)}^{3} + 3 {(- 1.94101027)}^{2} + 5 (- 1.94101027) - 1$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $- 1.94101027$ à la puissance $4$ .

$f (- 1.94101027) = - 1 \cdot 14.19421356 - 2 {(- 1.94101027)}^{3} + 3 {(- 1.94101027)}^{2} + 5 (- 1.94101027) - 1$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $14.19421356$ .

$f (- 1.94101027) = - 14.19421356 - 2 {(- 1.94101027)}^{3} + 3 {(- 1.94101027)}^{2} + 5 (- 1.94101027) - 1$

Étape 11.2.1.3

Élevez $- 1.94101027$ à la puissance $3$ .

$f (- 1.94101027) = - 14.19421356 - 2 \cdot - 7.31279672 + 3 {(- 1.94101027)}^{2} + 5 (- 1.94101027) - 1$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 7.31279672$ .

$f (- 1.94101027) = - 14.19421356 + 14.62559344 + 3 {(- 1.94101027)}^{2} + 5 (- 1.94101027) - 1$

Étape 11.2.1.5

Élevez $- 1.94101027$ à la puissance $2$ .

$f (- 1.94101027) = - 14.19421356 + 14.62559344 + 3 \cdot 3.76752087 + 5 (- 1.94101027) - 1$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $3$ par $3.76752087$ .

$f (- 1.94101027) = - 14.19421356 + 14.62559344 + 11.30256263 + 5 (- 1.94101027) - 1$

Étape 11.2.1.7

Multipliez $5$ par $- 1.94101027$ .

$f (- 1.94101027) = - 14.19421356 + 14.62559344 + 11.30256263 - 9.70505136 - 1$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $- 14.19421356$ et $14.62559344$ .

$f (- 1.94101027) = 0.43137988 + 11.30256263 - 9.70505136 - 1$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0.43137988$ et $11.30256263$ .

$f (- 1.94101027) = 11.73394251 - 9.70505136 - 1$

Étape 11.2.2.3

Soustrayez $9.70505136$ de $11.73394251$ .

$f (- 1.94101027) = 2.02889115 - 1$

Étape 11.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2.02889115$ .

$f (- 1.94101027) = 1.02889115$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $1.02889115$ .

$y = 1.02889115$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 0.61173103$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(- 0.61173103)}^{2} - 12 \cdot - 0.61173103 + 6$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Élevez $- 0.61173103$ à la puissance $2$ .

$- 12 \cdot 0.37421486 - 12 \cdot - 0.61173103 + 6$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 12$ par $0.37421486$ .

$- 4.49057832 - 12 \cdot - 0.61173103 + 6$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 12$ par $- 0.61173103$ .

$- 4.49057832 + 7.34077242 + 6$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 13.2.1

Additionnez $- 4.49057832$ et $7.34077242$ .

$2.8501941 + 6$

Étape 13.2.2

Additionnez $2.8501941$ et $6$ .

$8.8501941$

Étape 14

$x = - 0.61173103$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 0.61173103$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 0.61173103$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.61173103$ dans l’expression.

$f (- 0.61173103) = - {(- 0.61173103)}^{4} - 2 {(- 0.61173103)}^{3} + 3 {(- 0.61173103)}^{2} + 5 (- 0.61173103) - 1$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Élevez $- 0.61173103$ à la puissance $4$ .

$f (- 0.61173103) = - 1 \cdot 0.14003676 - 2 {(- 0.61173103)}^{3} + 3 {(- 0.61173103)}^{2} + 5 (- 0.61173103) - 1$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0.14003676$ .

$f (- 0.61173103) = - 0.14003676 - 2 {(- 0.61173103)}^{3} + 3 {(- 0.61173103)}^{2} + 5 (- 0.61173103) - 1$

Étape 15.2.1.3

Élevez $- 0.61173103$ à la puissance $3$ .

$f (- 0.61173103) = - 0.14003676 - 2 \cdot - 0.22891884 + 3 {(- 0.61173103)}^{2} + 5 (- 0.61173103) - 1$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 0.22891884$ .

$f (- 0.61173103) = - 0.14003676 + 0.45783768 + 3 {(- 0.61173103)}^{2} + 5 (- 0.61173103) - 1$

Étape 15.2.1.5

Élevez $- 0.61173103$ à la puissance $2$ .

$f (- 0.61173103) = - 0.14003676 + 0.45783768 + 3 \cdot 0.37421486 + 5 (- 0.61173103) - 1$

Étape 15.2.1.6

Multipliez $3$ par $0.37421486$ .

$f (- 0.61173103) = - 0.14003676 + 0.45783768 + 1.12264458 + 5 (- 0.61173103) - 1$

Étape 15.2.1.7

Multipliez $5$ par $- 0.61173103$ .

$f (- 0.61173103) = - 0.14003676 + 0.45783768 + 1.12264458 - 3.05865517 - 1$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.2.1

Additionnez $- 0.14003676$ et $0.45783768$ .

$f (- 0.61173103) = 0.31780092 + 1.12264458 - 3.05865517 - 1$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $0.31780092$ et $1.12264458$ .

$f (- 0.61173103) = 1.4404455 - 3.05865517 - 1$

Étape 15.2.2.3

Soustrayez $3.05865517$ de $1.4404455$ .

$f (- 0.61173103) = - 1.61820967 - 1$

Étape 15.2.2.4

Soustrayez $1$ de $- 1.61820967$ .

$f (- 0.61173103) = - 2.61820967$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $- 2.61820967$ .

$y = - 2.61820967$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1.0527413$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(1.0527413)}^{2} - 12 \cdot 1.0527413 + 6$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Élevez $1.0527413$ à la puissance $2$ .

$- 12 \cdot 1.10826426 - 12 \cdot 1.0527413 + 6$

Étape 17.1.2

Multipliez $- 12$ par $1.10826426$ .

$- 13.29917114 - 12 \cdot 1.0527413 + 6$

Étape 17.1.3

Multipliez $- 12$ par $1.0527413$ .

$- 13.29917114 - 12.63289569 + 6$

Étape 17.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 17.2.1

Soustrayez $12.63289569$ de $- 13.29917114$ .

$- 25.93206684 + 6$

Étape 17.2.2

Additionnez $- 25.93206684$ et $6$ .

$- 19.93206684$

Étape 18

$x = 1.0527413$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1.0527413$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = 1.0527413$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $1.0527413$ dans l’expression.

$f (1.0527413) = - {(1.0527413)}^{4} - 2 {(1.0527413)}^{3} + 3 {(1.0527413)}^{2} + 5 (1.0527413) - 1$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Élevez $1.0527413$ à la puissance $4$ .

$f (1.0527413) = - 1 \cdot 1.22824967 - 2 {(1.0527413)}^{3} + 3 {(1.0527413)}^{2} + 5 (1.0527413) - 1$

Étape 19.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1.22824967$ .

$f (1.0527413) = - 1.22824967 - 2 {(1.0527413)}^{3} + 3 {(1.0527413)}^{2} + 5 (1.0527413) - 1$

Étape 19.2.1.3

Élevez $1.0527413$ à la puissance $3$ .

$f (1.0527413) = - 1.22824967 - 2 \cdot 1.16671556 + 3 {(1.0527413)}^{2} + 5 (1.0527413) - 1$

Étape 19.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $1.16671556$ .

$f (1.0527413) = - 1.22824967 - 2.33343113 + 3 {(1.0527413)}^{2} + 5 (1.0527413) - 1$

Étape 19.2.1.5

Élevez $1.0527413$ à la puissance $2$ .

$f (1.0527413) = - 1.22824967 - 2.33343113 + 3 \cdot 1.10826426 + 5 (1.0527413) - 1$

Étape 19.2.1.6

Multipliez $3$ par $1.10826426$ .

$f (1.0527413) = - 1.22824967 - 2.33343113 + 3.32479278 + 5 (1.0527413) - 1$

Étape 19.2.1.7

Multipliez $5$ par $1.0527413$ .

$f (1.0527413) = - 1.22824967 - 2.33343113 + 3.32479278 + 5.26370654 - 1$

Étape 19.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 19.2.2.1

Soustrayez $2.33343113$ de $- 1.22824967$ .

$f (1.0527413) = - 3.56168081 + 3.32479278 + 5.26370654 - 1$

Étape 19.2.2.2

Additionnez $- 3.56168081$ et $3.32479278$ .

$f (1.0527413) = - 0.23688802 + 5.26370654 - 1$

Étape 19.2.2.3

Additionnez $- 0.23688802$ et $5.26370654$ .

$f (1.0527413) = 5.02681851 - 1$

Étape 19.2.2.4

Soustrayez $1$ de $5.02681851$ .

$f (1.0527413) = 4.02681851$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $4.02681851$ .

$y = 4.02681851$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 5 x - 1$ .

$(- 1.94101027, 1.02889115)$ est un maximum local

$(- 0.61173103, - 2.61820967)$ est un minimum local

$(1.0527413, 4.02681851)$ est un maximum local

Étape 21