Algèbre Exemples

$f (x) = - 4 x^{2} - 12 x + 5$

Étape 1

Le maximum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est négatif, la valeur maximale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{- 12}{2 (- 4)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{- 12}{2 (- 4)}$

Étape 2.3

Simplifiez $- \frac{- 12}{2 (- 4)}$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $2$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 4}$

Étape 2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 4$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 6}{2 (- 4)}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 4}$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{- 6}{- 4}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $- 4$ .

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 6$ .

$x = - \frac{- 2 (3)}{- 4}$

Étape 2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4$ .

$x = - \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 3

Évaluez $f (- \frac{3}{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3}{2}) = - 4 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Étape 3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 4 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 4 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Étape 3.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 4 \frac{9}{2^{2}} - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Étape 3.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 4 (\frac{9}{4}) - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 4 (- 1) (\frac{9}{4}) - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Étape 3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot (- 1 (\frac{9}{4})) - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Étape 3.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3}{2}) = - 1 \cdot 9 - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Étape 3.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 9 - 12 (- \frac{3}{2}) + 5$

Étape 3.2.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{3}{2}) = - 9 - 12 (\frac{- 3}{2}) + 5$

Étape 3.2.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 9 + 2 (- 6) (\frac{- 3}{2}) + 5$

Étape 3.2.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3}{2}) = - 9 + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 3}{2})) + 5$

Étape 3.2.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3}{2}) = - 9 - 6 \cdot - 3 + 5$

Étape 3.2.1.9

Multipliez $- 6$ par $- 3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 9 + 18 + 5$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.2.2.1

Additionnez $- 9$ et $18$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 9 + 5$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $9$ et $5$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 14$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $14$ .

$14$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le maximum.

$(- \frac{3}{2}, 14)$

Étape 5