Algèbre Exemples

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

Étape 1

Écrivez $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ comme une équation.

$y = x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

Étape 2

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 2.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18 = 0$ .

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Étape 2.2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Étape 2.2.2.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.2.2.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

Étape 2.2.2.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

Étape 2.2.2.1.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 + 4 \cdot 4 - 3 \cdot 2 - 18$

Étape 2.2.2.1.3.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$8 + 16 - 3 \cdot 2 - 18$

Étape 2.2.2.1.3.5

Additionnez $8$ et $16$ .

$24 - 3 \cdot 2 - 18$

Étape 2.2.2.1.3.6

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$24 - 6 - 18$

Étape 2.2.2.1.3.7

Soustrayez $6$ de $24$ .

$18 - 18$

Étape 2.2.2.1.3.8

Soustrayez $18$ de $18$ .

$0$

Étape 2.2.2.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18}{x - 2}$

Étape 2.2.2.1.5

Divisez $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ par $x - 2$ .

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Étape 2.2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

Étape 2.2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$

Étape 2.2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 2.2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 2.2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Étape 2.2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Étape 2.2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$

Étape 2.2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Étape 2.2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $9 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

Étape 2.2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

Étape 2.2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $9 x - 18$

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

Étape 2.2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$
										$0$

Étape 2.2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 6 x + 9$

Étape 2.2.2.1.6

Écrivez $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 2) (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.2.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(x - 2) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

$(x - 2) {(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.2.5

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 2.2.5.2

Résolvez ${(x + 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.2.5.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) {(x + 3)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 2, - 3$

Étape 2.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(2, 0), (- 3, 0)$

Étape 3

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 3.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

Étape 3.2

Résolvez l’équation.

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{3} + 4 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

Étape 3.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

Étape 3.2.4

Simplifiez ${(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$ .

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Étape 3.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 4 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18$

Étape 3.2.4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 4 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 18$

Étape 3.2.4.1.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 3 \cdot 0 - 18$

Étape 3.2.4.1.4

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 18$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 - 18$

Étape 3.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 18$

Étape 3.2.4.2.3

Soustrayez $18$ de $0$ .

$y = - 18$

Étape 3.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 18)$

Étape 4

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(2, 0), (- 3, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 18)$

Étape 5