Algèbre Exemples

$x^{3} - x^{2} - 16 x - 20$

Étape 1

Écrivez $x^{3} - x^{2} - 16 x - 20$ comme une équation.

$y = x^{3} - x^{2} - 16 x - 20$

Étape 2

Déterminez les abscisses à l’origine.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{3} - x^{2} - 16 x - 20$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{3} - x^{2} - 16 x - 20 = 0$ .

$x^{3} - x^{2} - 16 x - 20 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{3} - x^{2} - 16 x - 20$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Étape 2.2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Étape 2.2.2.1.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 16 \cdot - 2 - 20$

Étape 2.2.2.1.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 - {(- 2)}^{2} - 16 \cdot - 2 - 20$

Étape 2.2.2.1.3.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 8 - 1 \cdot 4 - 16 \cdot - 2 - 20$

Étape 2.2.2.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 8 - 4 - 16 \cdot - 2 - 20$

Étape 2.2.2.1.3.5

Soustrayez $4$ de $- 8$ .

$- 12 - 16 \cdot - 2 - 20$

Étape 2.2.2.1.3.6

Multipliez $- 16$ par $- 2$ .

$- 12 + 32 - 20$

Étape 2.2.2.1.3.7

Additionnez $- 12$ et $32$ .

$20 - 20$

Étape 2.2.2.1.3.8

Soustrayez $20$ de $20$ .

$0$

Étape 2.2.2.1.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - x^{2} - 16 x - 20}{x + 2}$

Étape 2.2.2.1.5

Divisez $x^{3} - x^{2} - 16 x - 20$ par $x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$16 x$

$20$

Étape 2.2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$

Étape 2.2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$

Étape 2.2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$

Étape 2.2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 2.2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 2.2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$10 x$

Étape 2.2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$10 x$	-	$20$

Étape 2.2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 10 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$10 x$	-	$20$

Étape 2.2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$10 x$	-	$20$
							-	$10 x$	-	$20$

Étape 2.2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 10 x - 20$

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$10 x$	-	$20$
							+	$10 x$	+	$20$

Étape 2.2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$16 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$16 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$10 x$	-	$20$
							+	$10 x$	+	$20$
										$0$

Étape 2.2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 3 x - 10$

Étape 2.2.2.1.6

Écrivez $x^{3} - x^{2} - 16 x - 20$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 2) (x^{2} - 3 x - 10) = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez $x^{2} - 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 5, 2$

Étape 2.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 2) ((x - 5) (x + 2)) = 0$

Étape 2.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x - 5) (x + 2) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.2.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.2.5

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.2.5.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x - 5) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = - 2, 5$

Étape 2.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(- 2, 0), (5, 0)$

Étape 3

Déterminez les ordonnées à l’origine.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 16 \cdot 0 - 20$

Étape 3.2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{3} - {(0)}^{2} - 16 \cdot 0 - 20$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{3} - 0^{2} - 16 \cdot 0 - 20$

Étape 3.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 16 \cdot 0 - 20$

Étape 3.2.4

Simplifiez ${(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 16 \cdot 0 - 20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - {(0)}^{2} - 16 \cdot 0 - 20$

Étape 3.2.4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 0 - 16 \cdot 0 - 20$

Étape 3.2.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 16 \cdot 0 - 20$

Étape 3.2.4.1.4

Multipliez $- 16$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 20$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 - 20$

Étape 3.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 20$

Étape 3.2.4.2.3

Soustrayez $20$ de $0$ .

$y = - 20$

Étape 3.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 20)$

Étape 4

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(- 2, 0), (5, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 20)$

Étape 5