Algèbre Exemples

$4 x^{3} - 4 x - x^{5}$

Étape 1

Écrivez $4 x^{3} - 4 x - x^{5}$ comme une équation.

$y = 4 x^{3} - 4 x - x^{5}$

Étape 2

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 2.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 4 x^{3} - 4 x - x^{5}$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $4 x^{3} - 4 x - x^{5} = 0$ .

$4 x^{3} - 4 x - x^{5} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $- x$ à partir de $4 x^{3} - 4 x - x^{5}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 2.2.2.1.1.1

Déplacez $- 4 x$ .

$4 x^{3} - x^{5} - 4 x = 0$

Étape 2.2.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $4 x^{3}$ et $- x^{5}$ .

$- x^{5} + 4 x^{3} - 4 x = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{5}$ .

$- x \cdot x^{4} + 4 x^{3} - 4 x = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez $- x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$- x \cdot x^{4} - x (- 4 x^{2}) - 4 x = 0$

Étape 2.2.2.1.4

Factorisez $- x$ à partir de $- 4 x$ .

$- x \cdot x^{4} - x (- 4 x^{2}) - x \cdot 4 = 0$

Étape 2.2.2.1.5

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x^{4}) - x (- 4 x^{2})$ .

$- x (x^{4} - 4 x^{2}) - x \cdot 4 = 0$

Étape 2.2.2.1.6

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x^{4} - 4 x^{2}) - x (4)$ .

$- x (x^{4} - 4 x^{2} + 4) = 0$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x ({(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} + 4) = 0$

Étape 2.2.2.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- x (u^{2} - 4 u + 4) = 0$

Étape 2.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- x (u^{2} - 4 u + 2^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Étape 2.2.2.4.3

Réécrivez le polynôme.

$- x (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 2$ .

$- x {(u - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.2.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- x {(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.5

Définissez ${(x^{2} - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez ${(x^{2} - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.2.5.2

Résolvez ${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Définissez le $x^{2} - 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 2.2.5.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.2.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 2.2.5.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 2.2.5.2.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.5.2.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 2.2.5.2.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 2.2.5.2.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x {(x^{2} - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 2.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Étape 3

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 3.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 4 {(0)}^{3} - 4 \cdot 0 - {(0)}^{5}$

Étape 3.2

Résolvez l’équation.

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0 - {(0)}^{5}$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0 - 0^{5}$

Étape 3.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 {(0)}^{3} - 4 \cdot 0 - {(0)}^{5}$

Étape 3.2.4

Simplifiez $4 {(0)}^{3} - 4 \cdot 0 - {(0)}^{5}$ .

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Étape 3.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 4 \cdot 0 - {(0)}^{5}$

Étape 3.2.4.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$y = 0 - 4 \cdot 0 - {(0)}^{5}$

Étape 3.2.4.1.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - {(0)}^{5}$

Étape 3.2.4.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 0 - 0$

Étape 3.2.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0$

Étape 3.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0$

Étape 3.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 4

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 5