Algèbre Exemples

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$V = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d V} (V) = \frac{d}{d V} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1

Associez $π$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Étape 4.1.2

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.1

Associez $\frac{π \cdot 4}{3}$ et $r^{3}$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}]$

Étape 4.1.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{4 \cdot π r^{3}}{3}]$

Étape 4.1.3

Comme $\frac{4 π}{3}$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $\frac{4 π r^{3}}{3}$ par rapport à $V$ est $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$ .

$\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d V} [f (g (V))]$ est $f' (g (V)) g' (V)$ où $f (V) = V^{3}$ et $g (V) = r$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $r$ .

$\frac{4 π}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d V} [r])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{4 π}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $r$ .

$\frac{4 π}{3} (3 r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Étape 4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 4.3.1

Associez $3$ et $\frac{4 π}{3}$ .

$\frac{3 (4 π)}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Étape 4.3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 π}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Étape 4.3.3

Associez $r^{2}$ et $\frac{12 π}{3}$ .

$\frac{r^{2} (12 π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Étape 4.3.4

Déplacez $12$ à gauche de $r^{2}$ .

$\frac{12 \cdot r^{2} π}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 4.3.5.1

Factorisez $3$ à partir de $12 r^{2} π$ .

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Étape 4.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 (1)} \frac{d}{d V} [r]$

Étape 4.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 \cdot 1} \frac{d}{d V} [r]$

Étape 4.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 r^{2} π}{1} \frac{d}{d V} [r]$

Étape 4.3.5.2.4

Divisez $4 r^{2} π$ par $1$ .

$4 r^{2} π \frac{d}{d V} [r]$

Étape 4.4

Réécrivez $\frac{d}{d V} [r]$ comme $r'$ .

$4 r^{2} π r'$

Étape 4.5

Réorganisez les facteurs de $4 r^{2} π r'$ .

$4 π r^{2} r'$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = 4 π r^{2} r'$

Étape 6

Résolvez $r'$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $4 π r^{2} r' = 1$ .

$4 π r^{2} r' = 1$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $4 π r^{2} r' = 1$ par $4 π r^{2}$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $4 π r^{2} r' = 1$ par $4 π r^{2}$ .

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Étape 6.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Annulez le facteur commun de $r^{2}$ .

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Étape 6.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Étape 6.2.2.3.2

Divisez $r'$ par $1$ .

$r' = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Étape 7

Remplacez $r'$ par $\frac{d r}{d V}$ .

$\frac{d r}{d V} = \frac{1}{4 π r^{2}}$