Algèbre Exemples

$25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y + 76 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

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Étape 1.1

Soustrayez $76$ des deux côtés de l’équation.

$25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y = - 76$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $25 x^{2} - 100 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 100$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 50}{25}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 50$ et $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $- 50$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 100$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $10000$ par $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $100$ .

$e = 0 - 100$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $100$ de $0$ .

$e = - 100$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100$

Étape 1.3

Remplacez $25 x^{2} - 100 x$ par $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ dans l’équation $25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y = - 76$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100 + y^{2} - 2 y = - 76$

Étape 1.4

Déplacez $- 100$ du côté droit de l’équation en ajoutant $100$ des deux côtés.

$25 {(x - 2)}^{2} + y^{2} - 2 y = - 76 + 100$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $y^{2} - 2 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.5.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 1.5.4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e = 0 - 1$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - 1)}^{2} - 1$ .

${(y - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.6

Remplacez $y^{2} - 2 y$ par ${(y - 1)}^{2} - 1$ dans l’équation $25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y = - 76$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 1 = - 76 + 100$

Étape 1.7

Déplacez $- 1$ du côté droit de l’équation en ajoutant $1$ des deux côtés.

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = - 76 + 100 + 1$

Étape 1.8

Simplifiez $- 76 + 100 + 1$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $- 76$ et $100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 24 + 1$

Étape 1.8.2

Additionnez $24$ et $1$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $25$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{25 {(x - 2)}^{2}}{25} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{25} = \frac{25}{25}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

${(x - 2)}^{2} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{25} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 5$

$b = 1$

$k = 1$

$h = 2$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(2, 1)$

Étape 5