Algèbre Exemples

$f (x) = - 4 {(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)$

Étape 1

Déterminez si la fonction est impaire, paire ou ni l’un ni l’autre pour déterminer la symétrie.

1. S’il est impair, la fonction est symétrique par rapport à l’origine.

2. S’il est pair, la fonction est symétrique par rapport à l’ordonnée.

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez ${(x - 4)}^{2}$ comme $(x - 4) (x - 4)$ .

$f (x) = - 4 ((x - 4) (x - 4)) (x^{2} - 4)$

Étape 2.2

Développez $(x - 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - 4 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (x^{2} - 4)$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - 4 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (x^{2} - 4)$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - 4 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (x^{2} - 4)$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = - 4 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (x^{2} - 4)$

Étape 2.3.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$f (x) = - 4 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (x^{2} - 4)$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f (x) = - 4 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (x^{2} - 4)$

Étape 2.3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$f (x) = - 4 (x^{2} - 8 x + 16) (x^{2} - 4)$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (- 4 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 16) (x^{2} - 4)$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$f (x) = (- 4 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 16) (x^{2} - 4)$

Étape 2.5.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$f (x) = (- 4 x^{2} + 32 x - 64) (x^{2} - 4)$

Étape 2.6

Développez $(- 4 x^{2} + 32 x - 64) (x^{2} - 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f (x) = - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Étape 2.7

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f (x) = - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Étape 2.7.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Étape 2.7.1.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f (x) = - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 4 + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x \cdot x^{2} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Étape 2.7.1.3

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 (x^{2} x) + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Étape 2.7.1.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 (x^{2} x) + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Étape 2.7.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{2 + 1} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Étape 2.7.1.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{3} + 32 x \cdot - 4 - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Étape 2.7.1.4

Multipliez $- 4$ par $32$ .

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x - 64 x^{2} - 64 \cdot - 4$

Étape 2.7.1.5

Multipliez $- 64$ par $- 4$ .

$f (x) = - 4 x^{4} + 16 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x - 64 x^{2} + 256$

Étape 2.7.2

Soustrayez $64 x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$f (x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256$

Étape 3

Déterminez $f (- x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déterminez $f (- x)$ en remplaçant $- x$ pour toutes les occurrences de $x$ dans $f (x)$ .

$f (- x) = - 4 {(- x)}^{4} - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - 4 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Étape 3.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- x) = - 4 (1 x^{4}) - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Étape 3.2.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 {(- x)}^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Étape 3.2.4

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Étape 3.2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 (1 x^{2}) + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Étape 3.2.6

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 {(- x)}^{3} - 128 (- x) + 256$

Étape 3.2.7

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 128 (- x) + 256$

Étape 3.2.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 (- x^{3}) - 128 (- x) + 256$

Étape 3.2.9

Multipliez $- 1$ par $32$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} - 128 (- x) + 256$

Étape 3.2.10

Multipliez $- 1$ par $- 128$ .

$f (- x) = - 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x + 256$

Étape 4

Une fonction est paire si $f (- x) = f (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Vérifiez si $f (- x) = f (x)$ .

Étape 4.2

Comme $- 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x + 256$ $\neq$ $- 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256$ , la fonction n’est pas paire.

La fonction n’est pas paire

Étape 5

Une fonction est impaire si $f (- x) = - f (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez $- f (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Multipliez $- 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256$ par $- 1$ .

$- f (x) = - (- 4 x^{4} - 48 x^{2} + 32 x^{3} - 128 x + 256)$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- f (x) = - (- 4 x^{4}) - (- 48 x^{2}) - (32 x^{3}) - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

Étape 5.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- f (x) = 4 x^{4} - (- 48 x^{2}) - (32 x^{3}) - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

Étape 5.1.3.2

Multipliez $- 48$ par $- 1$ .

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - (32 x^{3}) - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $32$ par $- 1$ .

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} - (- 128 x) - 1 \cdot 256$

Étape 5.1.3.4

Multipliez $- 128$ par $- 1$ .

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x - 1 \cdot 256$

Étape 5.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $256$ .

$- f (x) = 4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x - 256$

Étape 5.2

Comme $- 4 x^{4} - 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x + 256$ $\neq$ $4 x^{4} + 48 x^{2} - 32 x^{3} + 128 x - 256$ , la fonction n’est pas impaire.

La fonction n’est pas impaire

Étape 6

La fonction n’est ni paire ni impaire

Étape 7

Comme la fonction n’est pas impaire, elle n’est pas symétrique par rapport à l’origine.

Aucune symétrie par rapport à l’origine

Étape 8

Comme la fonction n’est pas paire, elle n’est pas symétrique par rapport à l’ordonnée.

Aucune symétrie par rapport à l’ordonnée

Étape 9

Comme la fonction n’est ni impaire ni paire, il n’y a pas de symétrique par rapport à l’origine ni par rapport à l’ordonnée.

La fonction n’est pas symétrique

Étape 10