Algèbre Exemples

$x^{3} y = - 9$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $x^{3} y = - 9$ par $x^{3}$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x^{3} y = - 9$ par $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- 9}{x^{3}}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{- 9}{x^{3}}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 9}{x^{3}}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{9}{x^{3}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - \frac{9}{y^{3}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{9}{y^{3}} = x$ .

$- \frac{9}{y^{3}} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y^{3}, 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y^{3}$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{9}{y^{3}} = x$ par $y^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{9}{y^{3}} = x$ par $y^{3}$ .

$- \frac{9}{y^{3}} y^{3} = x y^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9}{y^{3}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 9}{y^{3}} y^{3} = x y^{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 9}{y^{3}} y^{3} = x y^{3}$

Étape 3.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 9 = x y^{3}$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $x y^{3} = - 9$ .

$x y^{3} = - 9$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $x y^{3} = - 9$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $x y^{3} = - 9$ par $x$ .

$\frac{x y^{3}}{x} = \frac{- 9}{x}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y^{3}}{x} = \frac{- 9}{x}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{- 9}{x}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{9}{x}$

Étape 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{9}{x}}$

Étape 3.4.4

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{9}{x}}$ .

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Étape 3.4.4.1

Réécrivez $- \frac{9}{x}$ comme ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{9}{x}$ .

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Étape 3.4.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{9}{x}}$

Étape 3.4.4.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{9}{x}}$

Étape 3.4.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{9}{x}}$

Étape 3.4.4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{9}{x}}$

Étape 3.4.4.4

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{9}{x}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 3.4.4.5

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}})$

Étape 3.4.4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.4.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 3.4.4.6.2

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 3.4.4.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.4.6.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Étape 3.4.4.6.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 3.4.4.6.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.4.6.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.4.6.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.4.6.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.4.6.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.4.6.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Étape 3.4.4.6.5.5

Simplifiez

$y = - \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Étape 3.4.4.7

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{9} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Étape 3.4.4.8

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = - \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{9}{x^{3}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - \frac{\sqrt[3]{9 {(- \frac{9}{x^{3}})}^{2}}}{- \frac{9}{x^{3}}}$

Étape 5.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (\sqrt[3]{9 {(- \frac{9}{x^{3}})}^{2}} (- \frac{x^{3}}{9}))$

Étape 5.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{9 {(- \frac{9}{x^{3}})}^{2}} \frac{x^{3}}{9})$

Étape 5.2.5

Appliquez la règle de produit à $- \frac{9}{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{9 {(- 1)}^{2} {(\frac{9}{x^{3}})}^{2}} \frac{x^{3}}{9})$

Étape 5.2.6

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{9 \cdot (1 {(\frac{9}{x^{3}})}^{2})} \frac{x^{3}}{9})$

Étape 5.2.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{9 \cdot (1 (\frac{9^{2}}{{(x^{3})}^{2}}))} \frac{x^{3}}{9})$

Étape 5.2.8

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{9 \cdot (1 (\frac{81}{{(x^{3})}^{2}}))} \frac{x^{3}}{9})$

Étape 5.2.9

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 5.2.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{9 \cdot (1 (\frac{81}{x^{3 \cdot 2}}))} \frac{x^{3}}{9})$

Étape 5.2.9.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{9 \cdot (1 (\frac{81}{x^{6}}))} \frac{x^{3}}{9})$

Étape 5.2.10

Associez les exposants.

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Étape 5.2.10.1

Multipliez $9$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{9 (\frac{81}{x^{6}})} \frac{x^{3}}{9})$

Étape 5.2.10.2

Associez $9$ et $\frac{81}{x^{6}}$ .

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{9 \cdot 81}{x^{6}}} \frac{x^{3}}{9})$

Étape 5.2.10.3

Multipliez $9$ par $81$ .

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{729}{x^{6}}} \frac{x^{3}}{9})$

Étape 5.2.11

Réécrivez $729$ comme $9^{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{9^{3}}{x^{6}}} \frac{x^{3}}{9})$

Étape 5.2.12

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{2})}^{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{\frac{9^{3}}{{(x^{2})}^{3}}} \frac{x^{3}}{9})$

Étape 5.2.13

Réécrivez $\frac{9^{3}}{{(x^{2})}^{3}}$ comme ${(\frac{9}{x^{2}})}^{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (- \sqrt[3]{{(\frac{9}{x^{2}})}^{3}} \frac{x^{3}}{9})$

Étape 5.2.14

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (- \frac{9}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{9})$

Étape 5.2.15

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.2.15.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (\frac{- 9}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{9})$

Étape 5.2.15.2

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (\frac{9 (- 1)}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{9})$

Étape 5.2.15.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (\frac{9 \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{9})$

Étape 5.2.15.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (\frac{- 1}{x^{2}} \cdot x^{3})$

Étape 5.2.16

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.2.16.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (\frac{- 1}{x^{2}} \cdot (x^{2} x))$

Étape 5.2.16.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = - (\frac{- 1}{x^{2}} \cdot (x^{2} x))$

Étape 5.2.16.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{9}{x^{3}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}) = - \frac{9}{{(- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x})}^{3}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}) = - \frac{9}{{(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x})}^{3}}$

Étape 5.3.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}) = - \frac{9}{- {(\frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x})}^{3}}$

Étape 5.3.3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}) = - \frac{9}{- \frac{{\sqrt[3]{9 x^{2}}}^{3}}{x^{3}}}$

Étape 5.3.3.4

Réécrivez ${\sqrt[3]{9 x^{2}}}^{3}$ comme $9 x^{2}$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{9 x^{2}}$ comme ${(9 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}) = - \frac{9}{- \frac{{({(9 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{x^{3}}}$

Étape 5.3.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}) = - \frac{9}{- \frac{{(9 x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{x^{3}}}$

Étape 5.3.3.4.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}) = - \frac{9}{- \frac{{(9 x^{2})}^{\frac{3}{3}}}{x^{3}}}$

Étape 5.3.3.4.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}) = - \frac{9}{- \frac{{(9 x^{2})}^{\frac{3}{3}}}{x^{3}}}$

Étape 5.3.3.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}) = - \frac{9}{- \frac{9 x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 5.3.3.4.5

Simplifiez

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}) = - \frac{9}{- \frac{9 x^{2}}{x^{3}}}$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $9 x^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}) = - \frac{9}{- \frac{x^{2} \cdot 9}{x^{3}}}$

Étape 5.3.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.5.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}) = - \frac{9}{- \frac{x^{2} \cdot 9}{x^{2} x}}$

Étape 5.3.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}) = - \frac{9}{- \frac{x^{2} \cdot 9}{x^{2} x}}$

Étape 5.3.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}) = - \frac{9}{- \frac{9}{x}}$

Étape 5.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}) = - (9 (- \frac{x}{9}))$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{9}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}) = - (9 (\frac{- x}{9}))$

Étape 5.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}) = - (9 (\frac{- x}{9}))$

Étape 5.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{9}{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x^{2}}}{x}$