Algèbre Exemples

$y = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$ .

$\frac{1}{6} y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4}{3} y + \frac{43}{9} = x$

Étape 2.2.2

Associez $y$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{y \cdot 4}{3} + \frac{43}{9} = x$

Étape 2.2.3

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4 y}{3} + \frac{43}{9} = x$

Étape 2.3

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{4 y}{3} + \frac{43}{9} - x = 0$

Étape 2.4

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $18$ , puis simplifiez.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$18 (\frac{y^{2}}{6}) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Étape 2.4.2

Simplifiez

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $18$ .

$6 (3) (\frac{y^{2}}{6}) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Étape 2.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$6 \cdot (3 (\frac{y^{2}}{6})) + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Étape 2.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 y^{2} + 18 (- \frac{4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 y}{3}$ dans le numérateur.

$3 y^{2} + 18 (\frac{- 4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Étape 2.4.2.2.2

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$3 y^{2} + 3 (6) (\frac{- 4 y}{3}) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Étape 2.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$3 y^{2} + 3 \cdot (6 (\frac{- 4 y}{3})) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Étape 2.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$3 y^{2} + 6 (- 4 y) + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Étape 2.4.2.3

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$3 y^{2} - 24 y + 18 (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Étape 2.4.2.4

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.4.2.4.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$3 y^{2} - 24 y + 9 (2) (\frac{43}{9}) + 18 (- x) = 0$

Étape 2.4.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$3 y^{2} - 24 y + 9 \cdot (2 (\frac{43}{9})) + 18 (- x) = 0$

Étape 2.4.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$3 y^{2} - 24 y + 2 \cdot 43 + 18 (- x) = 0$

Étape 2.4.2.5

Multipliez $2$ par $43$ .

$3 y^{2} - 24 y + 86 + 18 (- x) = 0$

Étape 2.4.2.6

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$3 y^{2} - 24 y + 86 - 18 x = 0$

Étape 2.4.3

Déplacez $86$ .

$3 y^{2} - 24 y - 18 x + 86 = 0$

Étape 2.4.4

Déplacez $- 24 y$ .

$3 y^{2} - 18 x - 24 y + 86 = 0$

Étape 2.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.6

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 24$ et $c = - 18 x + 86$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 18 x + 86))}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $- 24$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.4

Multipliez $- 18$ par $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.5

Multipliez $- 12$ par $86$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.6

Soustrayez $1032$ de $576$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.7

Factorisez $24$ à partir de $216 x - 456$ .

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Étape 2.7.1.7.1

Factorisez $24$ à partir de $216 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.7.2

Factorisez $24$ à partir de $- 456$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.7.3

Factorisez $24$ à partir de $24 (9 x) + 24 (- 19)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.8

Réécrivez $24 (9 x - 19)$ comme $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ .

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Étape 2.7.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.8.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.8.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.10

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

Étape 2.7.3

Simplifiez $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $- 24$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.4

Multipliez $- 18$ par $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.5

Multipliez $- 12$ par $86$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.6

Soustrayez $1032$ de $576$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.7

Factorisez $24$ à partir de $216 x - 456$ .

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Étape 2.8.1.7.1

Factorisez $24$ à partir de $216 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.7.2

Factorisez $24$ à partir de $- 456$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.7.3

Factorisez $24$ à partir de $24 (9 x) + 24 (- 19)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.8

Réécrivez $24 (9 x - 19)$ comme $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ .

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Étape 2.8.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.8.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.8.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.10

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

Étape 2.8.3

Simplifiez $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Étape 2.8.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Étape 2.9

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1.1

Élevez $- 24$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.9.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 18 x + 86)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 (- 18 x) - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.9.1.4

Multipliez $- 18$ par $- 12$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 12 \cdot 86}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.9.1.5

Multipliez $- 12$ par $86$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 216 x - 1032}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.9.1.6

Soustrayez $1032$ de $576$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{216 x - 456}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.9.1.7

Factorisez $24$ à partir de $216 x - 456$ .

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Étape 2.9.1.7.1

Factorisez $24$ à partir de $216 x$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) - 456}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.9.1.7.2

Factorisez $24$ à partir de $- 456$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x) + 24 (- 19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.9.1.7.3

Factorisez $24$ à partir de $24 (9 x) + 24 (- 19)$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{24 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.9.1.8

Réécrivez $24 (9 x - 19)$ comme $2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))$ .

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Étape 2.9.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{4 (6) (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.9.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (9 x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.9.1.8.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.9.1.8.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3^{2} x - 19))}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.9.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (3^{2} x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.9.1.10

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.9.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$

Étape 2.9.3

Simplifiez $\frac{24 \pm 2 \sqrt{6 (9 x - 19)}}{6}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Étape 2.9.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Étape 2.10

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

$y = \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ et $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[\frac{19}{9}, \infty)$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $\frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{6 (9 x - 19)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$6 (9 x - 19) \geq 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Divisez chaque terme dans $6 (9 x - 19) \geq 0$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $6 (9 x - 19) \geq 0$ par $6$ .

$\frac{6 (9 x - 19)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 4.3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (9 x - 19)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Étape 4.3.2.1.2.1.2

Divisez $9 x - 19$ par $1$ .

$9 x - 19 \geq \frac{0}{6}$

Étape 4.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $6$ .

$9 x - 19 \geq 0$

Étape 4.3.2.2

Ajoutez $19$ aux deux côtés de l’inégalité.

$9 x \geq 19$

Étape 4.3.2.3

Divisez chaque terme dans $9 x \geq 19$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $9 x \geq 19$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} \geq \frac{19}{9}$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 4.3.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} \geq \frac{19}{9}$

Étape 4.3.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{19}{9}$

Étape 4.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[\frac{19}{9}, \infty)$

Étape 4.4

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

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Étape 4.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ se trouve sur la plage de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ est le domaine de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ , $f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{43}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{12 + \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}, \frac{12 - \sqrt{6 (9 x - 19)}}{3}$

Étape 5