Algèbre Exemples

$c (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$2 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Étape 4.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Étape 4.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$1 - 1$

Étape 4.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 1}{x + 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$

	$2$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(3)$ .

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$
	$2$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$
	$2$	$1$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$
	$2$	$1$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$
	$2$	$1$	$- 1$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 1)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$	$1$
	$2$	$1$	$- 1$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$2$	$3$	$0$	$- 1$
		$- 2$	$- 1$	$1$
	$2$	$1$	$- 1$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$2 x^{2} + 1 x - 1$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x^{2} + x - 1$

Étape 7

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 7.1.1

Multipliez par $1$ .

$(x + 1) + 2 x^{2} + 1 x - 1$

Étape 7.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$(x + 1) + 2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) + 2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1$

Étape 7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 1) + x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)$

Étape 7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$(x + 1) + (2 x - 1) (x + 1)$

$(x + 1) (2 x - 1) (x + 1)$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Factorisez $2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 8.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 8.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5$

Étape 8.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 8.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$2 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Étape 8.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Étape 8.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 + 3 {(- 1)}^{2} - 1$

Étape 8.1.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 8.1.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Étape 8.1.3.6

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$1 - 1$

Étape 8.1.3.7

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 8.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 1}{x + 1}$

Étape 8.1.5

Divisez $2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ par $x + 1$ .

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Étape 8.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 8.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Étape 8.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 8.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 8.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Étape 8.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Étape 8.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Étape 8.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 8.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + x$

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 8.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$

Étape 8.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$

Étape 8.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$

Étape 8.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$
							-	$x$	-	$1$

Étape 8.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x - 1$

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$

Étape 8.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$
										$0$

Étape 8.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} + x - 1$

Étape 8.1.6

Écrivez $2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 1) (2 x^{2} + x - 1) = 0$

Étape 8.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$(x + 1) (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

Étape 8.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

Étape 8.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 1) ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

Étape 8.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 1) (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

Étape 8.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$(x + 1) ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

Étape 8.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (2 x - 1) (x + 1) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 10

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 11

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 11.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 11.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 11.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (2 x - 1) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = - 1, \frac{1}{2}$

Étape 13