Algèbre Exemples

$f (x) = 4 x^{2} - 25$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm \frac{25}{4}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$4 {(\frac{5}{2})}^{2} - 25$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = \frac{5}{2}$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$4 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 25$

Étape 4.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$4 \frac{25}{2^{2}} - 25$

Étape 4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 (\frac{25}{4}) - 25$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{25}{4}) - 25$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$25 - 25$

Étape 4.2

Soustrayez $25$ de $25$ .

$0$

Étape 5

Comme $\frac{5}{2}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - \frac{5}{2}$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{2} - 25}{x - \frac{5}{2}}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(4)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$

	$4$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(4)$ par le diviseur $(\frac{5}{2})$ et placez le résultat de $(10)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$
	$4$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$
	$4$	$10$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(10)$ par le diviseur $(\frac{5}{2})$ et placez le résultat de $(25)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 25)$ .

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$	$25$
	$4$	$10$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{5}{2}$	$4$	$0$	$- 25$
		$10$	$25$
	$4$	$10$	$0$

Étape 6.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(4) x + 10$

Étape 6.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$4 x + 10$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $4 x + 10$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x) + 10)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x) + 2 (5))$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x) + 2 (5)$ .

$(x - \frac{5}{2}) (2 (2 x + 5))$

Étape 8

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} = 25$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 25$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 25$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Étape 10

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Étape 11

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Étape 11.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{25}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Étape 11.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 11.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Étape 11.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 11.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Étape 12

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 12.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{5}{2}$

Étape 12.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 12.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Étape 13