Algèbre Exemples

$f (x) = x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(5)}^{3} - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 5$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$125 - 11 {(5)}^{2} + 43 (5) - 65$

Étape 4.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$125 - 11 \cdot 25 + 43 (5) - 65$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 11$ par $25$ .

$125 - 275 + 43 (5) - 65$

Étape 4.1.4

Multipliez $43$ par $5$ .

$125 - 275 + 215 - 65$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $275$ de $125$ .

$- 150 + 215 - 65$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 150$ et $215$ .

$65 - 65$

Étape 4.2.3

Soustrayez $65$ de $65$ .

$0$

Étape 5

Comme $5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65}{x - 5}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(5)$ et placez le résultat de $(5)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 11)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$
	$1$	$- 6$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 6)$ par le diviseur $(5)$ et placez le résultat de $(- 30)$ sous le terme suivant dans le dividende $(43)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$
	$1$	$- 6$	$13$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(13)$ par le diviseur $(5)$ et placez le résultat de $(65)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 65)$ .

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$5$	$1$	$- 11$	$43$	$- 65$
		$5$	$- 30$	$65$
	$1$	$- 6$	$13$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{2} + - 6 x + 13$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{2} - 6 x + 13$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = 13$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.3

Soustrayez $52$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Étape 7.3.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Étape 7.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.3

Soustrayez $52$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Étape 7.4.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Étape 7.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 3 + 2 i$

Étape 7.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Étape 7.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.3

Soustrayez $52$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Étape 7.5.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Étape 7.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 3 - 2 i$

Étape 7.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x - 5) (x - 3 - 2 i) (x - 3 + 2 i)$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ .

$x = 5, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Étape 10