Algèbre Exemples

$f (x) = x^{3} - 111 x + 110$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10, \pm 11, \pm 22, \pm 55, \pm 110$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10, \pm 11, \pm 22, \pm 55, \pm 110$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(1)}^{3} - 111 \cdot 1 + 110$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 111 \cdot 1 + 110$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 111$ par $1$ .

$1 - 111 + 110$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $111$ de $1$ .

$- 110 + 110$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 110$ et $110$ .

$0$

Étape 5

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 111 x + 110}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$
	$1$	$1$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 111)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$- 110$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 110)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 110)$ sous le terme suivant dans le dividende $(110)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$	$- 110$
	$1$	$1$	$- 110$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$0$	$- 111$	$110$
		$1$	$1$	$- 110$
	$1$	$1$	$- 110$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{2} + 1 x - 110$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{2} + x - 110$

Étape 7

Factorisez $x^{2} + x - 110$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 110$ et dont la somme est $1$ .

$- 10, 11$

Étape 7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 1) + (x - 10) (x + 11)$

$(x - 1) (x - 10) (x + 11)$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Factorisez $x^{3} - 111 x + 110$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 8.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 110, \pm 2, \pm 55, \pm 5, \pm 22, \pm 10, \pm 11$

$q = \pm 1$

Étape 8.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 110, \pm 2, \pm 55, \pm 5, \pm 22, \pm 10, \pm 11$

Étape 8.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 8.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} - 111 \cdot 1 + 110$

Étape 8.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 - 111 \cdot 1 + 110$

Étape 8.1.3.3

Multipliez $- 111$ par $1$ .

$1 - 111 + 110$

Étape 8.1.3.4

Soustrayez $111$ de $1$ .

$- 110 + 110$

Étape 8.1.3.5

Additionnez $- 110$ et $110$ .

$0$

Étape 8.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 111 x + 110}{x - 1}$

Étape 8.1.5

Divisez $x^{3} - 111 x + 110$ par $x - 1$ .

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Étape 8.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$111 x$

$110$

Étape 8.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$

Étape 8.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 8.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 8.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Étape 8.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$

Étape 8.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$

Étape 8.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Étape 8.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Étape 8.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$

Étape 8.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$

Étape 8.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 110 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$

Étape 8.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$
							-	$110 x$	+	$110$

Étape 8.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 110 x + 110$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$
							+	$110 x$	-	$110$

Étape 8.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$110$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$111 x$	+	$110$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$111 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$110 x$	+	$110$
							+	$110 x$	-	$110$
										$0$

Étape 8.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + x - 110$

Étape 8.1.6

Écrivez $x^{3} - 111 x + 110$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) (x^{2} + x - 110) = 0$

Étape 8.2

Factorisez $x^{2} + x - 110$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.2.1

Factorisez $x^{2} + x - 110$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 110$ et dont la somme est $1$ .

$- 10, 11$

Étape 8.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 1) ((x - 10) (x + 11)) = 0$

Étape 8.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (x - 10) (x + 11) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 10 = 0$

$x + 11 = 0$

Étape 10

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 10.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 11

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 12

Définissez $x + 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x + 11$ égal à $0$ .

$x + 11 = 0$

Étape 12.2

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 11$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x - 10) (x + 11) = 0$ vraie.

$x = 1, 10, - 11$

Étape 14