Algèbre Exemples

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 21$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 3$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$- 27 + 3 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 21$

Étape 4.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$- 27 + 3 \cdot 9 - 7 \cdot - 3 - 21$

Étape 4.1.3

Multipliez $3$ par $9$ .

$- 27 + 27 - 7 \cdot - 3 - 21$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 7$ par $- 3$ .

$- 27 + 27 + 21 - 21$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $- 27$ et $27$ .

$0 + 21 - 21$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $21$ .

$21 - 21$

Étape 4.2.3

Soustrayez $21$ de $21$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21}{x + 3}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(- 3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(3)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$
	$1$	$0$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 7)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$	$- 7$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 7)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(21)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 21)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$	$21$
	$1$	$0$	$- 7$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$1$	$3$	$- 7$	$- 21$
		$- 3$	$0$	$21$
	$1$	$0$	$- 7$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{2} + 0 x - 7$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{2} - 7$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 7$

Étape 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7}$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{7}$

Étape 7.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{7}$

Étape 7.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x + 3) (x - \sqrt{7}) (x + \sqrt{7})$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 21$ .

$x = - 3, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 3, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Forme décimale :

$x = - 3, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$

Étape 11