Algèbre Exemples

$f (x) = x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(1)}^{6} - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 2 {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 6$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 2 \cdot 1 - 5 {(1)}^{2} + 6$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$1 - 2 - 5 {(1)}^{2} + 6$

Étape 4.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 2 - 5 \cdot 1 + 6$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$1 - 2 - 5 + 6$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 1 - 5 + 6$

Étape 4.2.2

Soustrayez $5$ de $- 1$ .

$- 6 + 6$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$0$

Étape 5

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$
	$1$	$1$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 2)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$- 1$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 5)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

Étape 6.11

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 6)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 6)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$

Étape 6.12

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

Étape 6.13

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 6)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 6)$ sous le terme suivant dans le dividende $(6)$ .

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$

Étape 6.14

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$0$	$- 2$	$0$	$- 5$	$0$	$6$
		$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$
	$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 6$	$- 6$	$0$

Étape 6.15

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{5} + 1 x^{4} - 1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 6) x - 6$

Étape 6.16

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{5} + x^{4} - x^{3} - x^{2} - 6 x - 6$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Regroupez les termes.

$x^{5} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} - x^{3} - 6 x$ .

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Étape 7.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 6 x + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Étape 7.1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 6 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Étape 7.1.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6 + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Étape 7.1.2.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 6$ .

$x (x^{4} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Étape 7.1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Étape 7.1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (u^{2} - u - 6) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Étape 7.1.5

Factorisez $u^{2} - u - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 7.1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x ((u - 3) (u + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Étape 7.1.6

Factorisez.

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Étape 7.1.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 3) (x^{2} + 2)) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Étape 7.1.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + x^{4} - x^{2} - 6 = 0$

Étape 7.1.7

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6 = 0$

Étape 7.1.8

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + u^{2} - u - 6 = 0$

Étape 7.1.9

Factorisez $u^{2} - u - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 7.1.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (u - 3) (u + 2) = 0$

Étape 7.1.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

Étape 7.1.11

Factorisez $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ à partir de $x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ .

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Étape 7.1.11.1

Factorisez $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ à partir de $x (x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) = 0$

Étape 7.1.11.2

Factorisez $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ à partir de $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1) = 0$

Étape 7.1.11.3

Factorisez $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2)$ à partir de $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (1)$ .

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 7.3

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 7.3.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 7.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 7.3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.3.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 7.3.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 7.3.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 7.4

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez $x^{2} + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 2$

Étape 7.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Étape 7.4.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Étape 7.4.2.3.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Étape 7.4.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Étape 7.4.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Étape 7.4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{2}$

Étape 7.4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{2}$

Étape 7.4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 7.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x - 1) (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) (x - i \sqrt{2}) (x + \sqrt{2} i) (x + 1)$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $x^{6} - 2 x^{4} - 5 x^{2} + 6$ .

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - 1$

Étape 10