Algèbre Exemples

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} + 42 x + 26$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(- 1)}^{4} - 8 {(- 1)}^{3} + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 - 8 {(- 1)}^{3} + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

Étape 4.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 - 8 \cdot - 1 + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$1 + 8 + 7 {(- 1)}^{2} + 42 (- 1) + 26$

Étape 4.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 8 + 7 \cdot 1 + 42 (- 1) + 26$

Étape 4.1.5

Multipliez $7$ par $1$ .

$1 + 8 + 7 + 42 (- 1) + 26$

Étape 4.1.6

Multipliez $42$ par $- 1$ .

$1 + 8 + 7 - 42 + 26$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $1$ et $8$ .

$9 + 7 - 42 + 26$

Étape 4.2.2

Additionnez $9$ et $7$ .

$16 - 42 + 26$

Étape 4.2.3

Soustrayez $42$ de $16$ .

$- 26 + 26$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 26$ et $26$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} + 42 x + 26}{x + 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 8)$ .

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$
	$1$	$- 9$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 9)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(7)$ .

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$
	$1$	$- 9$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$
	$1$	$- 9$	$16$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(16)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 16)$ sous le terme suivant dans le dividende $(42)$ .

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$
	$1$	$- 9$	$16$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$
	$1$	$- 9$	$16$	$26$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(26)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 26)$ sous le terme suivant dans le dividende $(26)$ .

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$	$- 26$
	$1$	$- 9$	$16$	$26$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 8$	$7$	$42$	$26$
		$- 1$	$9$	$- 16$	$- 26$
	$1$	$- 9$	$16$	$26$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + - 9 x^{2} + (16) x + 26$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Factorisez $x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 7.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

$q = \pm 1$

Étape 7.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

Étape 7.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 7.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{3} - 9 {(- 1)}^{2} + 16 \cdot - 1 + 26$

Étape 7.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - 9 {(- 1)}^{2} + 16 \cdot - 1 + 26$

Étape 7.1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 - 9 \cdot 1 + 16 \cdot - 1 + 26$

Étape 7.1.3.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$- 1 - 9 + 16 \cdot - 1 + 26$

Étape 7.1.3.5

Soustrayez $9$ de $- 1$ .

$- 10 + 16 \cdot - 1 + 26$

Étape 7.1.3.6

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$- 10 - 16 + 26$

Étape 7.1.3.7

Soustrayez $16$ de $- 10$ .

$- 26 + 26$

Étape 7.1.3.8

Additionnez $- 26$ et $26$ .

$0$

Étape 7.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26}{x + 1}$

Étape 7.1.5

Divisez $x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$ par $x + 1$ .

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Étape 7.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$16 x$

$26$

Étape 7.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$

Étape 7.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 7.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 7.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Étape 7.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$

Étape 7.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 10 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$

Étape 7.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$10 x$

Étape 7.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 10 x^{2} - 10 x$

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$

Étape 7.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$

Étape 7.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$

Étape 7.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $26 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$

Étape 7.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$
							+	$26 x$	+	$26$

Étape 7.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $26 x + 26$

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$
							-	$26 x$	-	$26$

Étape 7.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$26$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$16 x$	+	$26$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$
							+	$26 x$	+	$26$
							-	$26 x$	-	$26$
										$0$

Étape 7.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 10 x + 26$

Étape 7.1.6

Écrivez $x^{3} - 9 x^{2} + 16 x + 26$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 1) (x^{2} - 10 x + 26) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - 10 x + 26 = 0$

Étape 7.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7.4

Définissez $x^{2} - 10 x + 26$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $x^{2} - 10 x + 26$ égal à $0$ .

$x^{2} - 10 x + 26 = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez $x^{2} - 10 x + 26 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 10$ et $c = 26$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 26)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3

Simplifiez

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Étape 7.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.3.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 26$ .

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Étape 7.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $26$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.3

Soustrayez $104$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2}$

Étape 7.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 5 \pm i$

Étape 7.4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.4.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 26$ .

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Étape 7.4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $26$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.3

Soustrayez $104$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2}$

Étape 7.4.2.4.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 5 \pm i$

Étape 7.4.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 5 + i$

Étape 7.4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.2.5.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 26$ .

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Étape 7.4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $26$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.3

Soustrayez $104$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i}{2}$

Étape 7.4.2.5.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 5 \pm i$

Étape 7.4.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 5 - i$

Étape 7.4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 5 + i, 5 - i$

Étape 7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x^{2} - 10 x + 26) = 0$ vraie.

$x = - 1, 5 + i, 5 - i$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x + 1) (x - 5 - i) (x - 5 + i)$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} + 42 x + 26$ .

$x = - 1, 5 + i, 5 - i$

Étape 10