Algèbre Exemples

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 27, \pm 45, \pm 135$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 27, \pm 45, \pm 135$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 3$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$81 - 4 {(3)}^{3} - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Étape 4.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$81 - 4 \cdot 27 - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 4$ par $27$ .

$81 - 108 - 18 {(3)}^{2} + 108 (3) - 135$

Étape 4.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$81 - 108 - 18 \cdot 9 + 108 (3) - 135$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 18$ par $9$ .

$81 - 108 - 162 + 108 (3) - 135$

Étape 4.1.6

Multipliez $108$ par $3$ .

$81 - 108 - 162 + 324 - 135$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $108$ de $81$ .

$- 27 - 162 + 324 - 135$

Étape 4.2.2

Soustrayez $162$ de $- 27$ .

$- 189 + 324 - 135$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 189$ et $324$ .

$135 - 135$

Étape 4.2.4

Soustrayez $135$ de $135$ .

$0$

Étape 5

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135}{x - 3}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 4)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$
	$1$	$- 1$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 1)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(- 3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 18)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$
	$1$	$- 1$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$
	$1$	$- 1$	$- 21$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 21)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(- 63)$ sous le terme suivant dans le dividende $(108)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$
	$1$	$- 1$	$- 21$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(45)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(135)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 135)$ .

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$	$135$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$1$	$- 4$	$- 18$	$108$	$- 135$
		$3$	$- 3$	$- 63$	$135$
	$1$	$- 1$	$- 21$	$45$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 21) x + 45$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Factorisez $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 7.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1$

Étape 7.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

Étape 7.1.1.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 7.1.1.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$3^{3} - 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45$

Étape 7.1.1.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 - 3^{2} - 21 \cdot 3 + 45$

Étape 7.1.1.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$27 - 1 \cdot 9 - 21 \cdot 3 + 45$

Étape 7.1.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$27 - 9 - 21 \cdot 3 + 45$

Étape 7.1.1.3.5

Soustrayez $9$ de $27$ .

$18 - 21 \cdot 3 + 45$

Étape 7.1.1.3.6

Multipliez $- 21$ par $3$ .

$18 - 63 + 45$

Étape 7.1.1.3.7

Soustrayez $63$ de $18$ .

$- 45 + 45$

Étape 7.1.1.3.8

Additionnez $- 45$ et $45$ .

$0$

Étape 7.1.1.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - x^{2} - 21 x + 45}{x - 3}$

Étape 7.1.1.5

Divisez $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ par $x - 3$ .

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Étape 7.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$45$

Étape 7.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$

Étape 7.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 7.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 7.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Étape 7.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$

Étape 7.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$

Étape 7.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 7.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 7.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$

Étape 7.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$

Étape 7.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 15 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$

Étape 7.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	+	$45$

Étape 7.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 15 x + 45$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	-	$45$

Étape 7.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$21 x$	+	$45$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$21 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	-	$45$
										$0$

Étape 7.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 2 x - 15$

Étape 7.1.1.6

Écrivez $x^{3} - x^{2} - 21 x + 45$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 3) (x^{2} + 2 x - 15) = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez $x^{2} + 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $2$ .

$- 3, 5$

Étape 7.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) ((x - 3) (x + 5)) = 0$

Étape 7.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

Étape 7.1.3

Associez les facteurs similaires.

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Étape 7.1.3.1

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

Étape 7.1.3.2

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x + 5) = 0$

Étape 7.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x - 3)}^{1 + 1} (x + 5) = 0$

Étape 7.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x - 3)}^{2} (x + 5) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 7.3

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 7.3.2

Résolvez ${(x - 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.3.2.1

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 7.3.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7.4

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 7.4.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x - 3)}^{2} (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 3, - 5$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x - 3) (x + 5)$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $x^{4} - 4 x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 135$ .

$x = 3, - 5$

Étape 10