Algèbre Exemples

$f (x) = x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(1)}^{4} + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 12 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Étape 4.1.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$1 + 12 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Étape 4.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 12 - 15 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 26$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$1 + 12 - 15 - 24 \cdot 1 + 26$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$1 + 12 - 15 - 24 + 26$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $1$ et $12$ .

$13 - 15 - 24 + 26$

Étape 4.2.2

Soustrayez $15$ de $13$ .

$- 2 - 24 + 26$

Étape 4.2.3

Soustrayez $24$ de $- 2$ .

$- 26 + 26$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 26$ et $26$ .

$0$

Étape 5

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(12)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$	$13$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(13)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(13)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 15)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$	$- 2$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 2)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 24)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 26)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(- 26)$ sous le terme suivant dans le dividende $(26)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + 13 x^{2} + (- 2) x - 26$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} + 13 x^{2} - 2 x - 26$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 1) (x^{3} + 13 x^{2}) - 2 x - 26$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 1) + x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

$(x - 1) x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 13$ .

$(x - 1) (x + 13) (x^{2} - 2)$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Regroupez les termes.

$12 x^{3} - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Étape 9.2

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{3} - 24 x$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Étape 9.2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $- 24 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Étape 9.2.3

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x^{2}) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Étape 9.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Étape 9.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$12 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 15 u + 26 = 0$

Étape 9.5

Factorisez $u^{2} - 15 u + 26$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $26$ et dont la somme est $- 15$ .

$- 13, - 2$

Étape 9.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$12 x (x^{2} - 2) + (u - 13) (u - 2) = 0$

Étape 9.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

Étape 9.7

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ .

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Étape 9.7.1

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $12 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

Étape 9.7.2

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $(x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13) = 0$

Étape 9.7.3

Factorisez $x^{2} - 2$ à partir de $(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x + x^{2} - 13) = 0$

Étape 9.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} - 2) (12 u + u^{2} - 13) = 0$

Étape 9.9

Factorisez $12 u + u^{2} - 13$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 13$ et dont la somme est $12$ .

$- 1, 13$

Étape 9.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{2} - 2) ((u - 1) (u + 13)) = 0$

Étape 9.10

Factorisez.

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Étape 9.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} - 2) ((x - 1) (x + 13)) = 0$

Étape 9.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 13 = 0$

Étape 11

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x^{2} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 11.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 11.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 11.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 12

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 13

Définissez $x + 13$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 13$ égal à $0$ .

$x + 13 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 13$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$ vraie.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

Forme décimale :

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 1, - 13$

Étape 16