Algèbre Exemples

$x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$

Étape 1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(y - 1)}^{2} = 25 - x^{2}$

Étape 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 1 = \pm \sqrt{25 - x^{2}}$

Étape 3

Simplifiez $\pm \sqrt{25 - x^{2}}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y - 1 = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Étape 4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

Étape 4.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y - 1 = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Étape 4.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

Étape 4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 1$

Étape 5

Définissez le radicande dans $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(5 + x) (5 - x) \geq 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 + x = 0$

$5 - x = 0$

Étape 6.2

Définissez $5 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Définissez $5 + x$ égal à $0$ .

$5 + x = 0$

Étape 6.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 6.3

Définissez $5 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Définissez $5 - x$ égal à $0$ .

$5 - x = 0$

Étape 6.3.2

Résolvez $5 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.3.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 5$

Étape 6.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$x = 5$

Étape 6.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 + x) (5 - x) \geq 0$ vraie.

$x = - 5, 5$

Étape 6.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

Étape 6.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 6.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$(5 - 8) (5 - (- 8)) \geq 0$

Étape 6.6.1.3

Le côté gauche $- 39$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 6.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(5 + 0) (5 - (0)) \geq 0$

Étape 6.6.2.3

Le côté gauche $25$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 6.6.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$(5 + 8) (5 - (8)) \geq 0$

Étape 6.6.3.3

Le côté gauche $- 39$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

Étape 6.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 \leq x \leq 5$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 5, 5]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 5 \leq x \leq 5}$

Étape 8