Algèbre Exemples

$x^{2} - 6 x + 5 y = - 34$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 6 x + 5 y = - 34 - x^{2}$

Étape 1.1.1.2

Ajoutez $6 x$ aux deux côtés de l’équation.

$5 y = - 34 - x^{2} + 6 x$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $5 y = - 34 - x^{2} + 6 x$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $5 y = - 34 - x^{2} + 6 x$ par $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 34}{5} + \frac{- x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 34}{5} + \frac{- x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 34}{5} + \frac{- x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{34}{5} + \frac{- x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{34}{5} - \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{34}{5} - \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5}$ .

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Étape 1.2.1

Déplacez $- \frac{34}{5}$ .

$- \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5} - \frac{34}{5}$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{5}$

$b = \frac{6}{5}$

$c = - \frac{34}{5}$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{6}{5}}{2 (- \frac{1}{5})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Étape 1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{2 (3)}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 3}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Étape 1.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{5}}$

Étape 1.2.4.2.3

Multipliez $\frac{3}{5}$ par $\frac{1}{- \frac{1}{5}}$ .

$d = \frac{3}{5 (- \frac{1}{5})}$

Étape 1.2.4.2.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$d = \frac{3}{- 5 (\frac{1}{5})}$

Étape 1.2.4.2.5

Associez $- 5$ et $\frac{1}{5}$ .

$d = \frac{3}{\frac{- 5}{5}}$

Étape 1.2.4.2.6

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $5$ .

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Étape 1.2.4.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$d = \frac{3}{\frac{5 \cdot - 1}{5}}$

Étape 1.2.4.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$d = \frac{3}{\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}}$

Étape 1.2.4.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{3}{\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}}$

Étape 1.2.4.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{\frac{- 1}{1}}$

Étape 1.2.4.2.6.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = \frac{3}{- 1}$

Étape 1.2.4.2.7

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Étape 1.2.4.2.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$d = - 3$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{{(\frac{6}{5})}^{2}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{6}{5}$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{\frac{6^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{\frac{36}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{\frac{36}{25}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{\frac{36}{25}}{- 4 (\frac{1}{5})}$

Étape 1.2.5.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{5}$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{\frac{36}{25}}{\frac{- 4}{5}}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{34}{5} - \frac{\frac{36}{25}}{- \frac{4}{5}}$

Étape 1.2.5.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{36}{25} (- \frac{5}{4}))$

Étape 1.2.5.2.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.5.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{4}$ dans le numérateur.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{36}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Étape 1.2.5.2.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{4 (9)}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Étape 1.2.5.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{4 \cdot 9}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Étape 1.2.5.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{9}{25} \cdot - 5)$

Étape 1.2.5.2.1.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.5.2.1.6.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{9}{5 (5)} \cdot - 5)$

Étape 1.2.5.2.1.6.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{9}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Étape 1.2.5.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{9}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Étape 1.2.5.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{9}{5} \cdot - 1)$

Étape 1.2.5.2.1.7

Associez $\frac{9}{5}$ et $- 1$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{9 \cdot - 1}{5}$

Étape 1.2.5.2.1.8

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{- 9}{5}$

Étape 1.2.5.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{34}{5} - - \frac{9}{5}$

Étape 1.2.5.2.1.10

Multipliez $- - \frac{9}{5}$ .

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Étape 1.2.5.2.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - \frac{34}{5} + 1 (\frac{9}{5})$

Étape 1.2.5.2.1.10.2

Multipliez $\frac{9}{5}$ par $1$ .

$e = - \frac{34}{5} + \frac{9}{5}$

Étape 1.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 34 + 9}{5}$

Étape 1.2.5.2.3

Additionnez $- 34$ et $9$ .

$e = \frac{- 25}{5}$

Étape 1.2.5.2.4

Divisez $- 25$ par $5$ .

$e = - 5$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{5} {(x - 3)}^{2} - 5$ .

$- \frac{1}{5} {(x - 3)}^{2} - 5$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{5} \cdot {(x - 3)}^{2} - 5$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{5}$

$h = 3$

$k = - 5$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(3, - 5)$

Étape 4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{5})}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{5})}$

Étape 4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{5})}$

Étape 4.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{5}}$

Étape 4.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (1 (\frac{5}{4}))$

Étape 4.3.4

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $1$ .

$- \frac{5}{4}$

Étape 5

Déterminez le foyer.

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Étape 5.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, - \frac{25}{4})$

Étape 6