Algèbre Exemples

${(a x + b y)}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(a x)}^{3 - k} \cdot {(b y)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(a x)}^{3 - 0} \cdot {(b y)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(a x)}^{3 - 1} \cdot {(b y)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(a x)}^{3 - 2} \cdot {(b y)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(a x)}^{3 - 3} \cdot {(b y)}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(a x)}^{3} \cdot {(b y)}^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(a x)}^{3}$ par $1$ .

${(a x)}^{3} \cdot {(b y)}^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $a x$ .

$a^{3} x^{3} \cdot {(b y)}^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $b y$ .

$a^{3} x^{3} \cdot (b^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{3} x^{3} \cdot (1 y^{0}) + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Étape 4.5

Multipliez $y^{0}$ par $1$ .

$a^{3} x^{3} \cdot y^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{3} x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Étape 4.7

Multipliez $a^{3}$ par $1$ .

$a^{3} x^{3} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Étape 4.8

Appliquez la règle de produit à $a x$ .

$a^{3} x^{3} + 3 \cdot (a^{2} x^{2}) \cdot {(b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Étape 4.9

Simplifiez

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} \cdot (b y) + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Étape 4.10

Simplifiez

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} b y + 3 \cdot (a x) \cdot {(b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Étape 4.11

Appliquez la règle de produit à $b y$ .

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x \cdot (b^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Étape 4.12

Multipliez ${(a x)}^{0}$ par $1$ .

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + {(a x)}^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Étape 4.13

Appliquez la règle de produit à $a x$ .

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + a^{0} x^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Étape 4.14

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + 1 x^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Étape 4.15

Multipliez $x^{0}$ par $1$ .

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + x^{0} \cdot {(b y)}^{3}$

Étape 4.16

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + 1 \cdot {(b y)}^{3}$

Étape 4.17

Multipliez ${(b y)}^{3}$ par $1$ .

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + {(b y)}^{3}$

Étape 4.18

Appliquez la règle de produit à $b y$ .

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + b^{3} y^{3}$