Algèbre Exemples

${(m - 2 n)}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(m)}^{3 - k} \cdot {(- 2 n)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(m)}^{3 - 0} \cdot {(- 2 n)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(m)}^{3 - 1} \cdot {(- 2 n)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(m)}^{3 - 2} \cdot {(- 2 n)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(m)}^{3 - 3} \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(m)}^{3} \cdot {(- 2 n)}^{0} + 3 \cdot {(m)}^{2} \cdot {(- 2 n)}^{1} + 3 \cdot {(m)}^{1} \cdot {(- 2 n)}^{2} + 1 \cdot {(m)}^{0} \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(m)}^{3}$ par $1$ .

${(m)}^{3} \cdot {(- 2 n)}^{0} + 3 \cdot {(m)}^{2} \cdot {(- 2 n)}^{1} + 3 \cdot {(m)}^{1} \cdot {(- 2 n)}^{2} + 1 \cdot {(m)}^{0} \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $- 2 n$ .

$m^{3} \cdot ({(- 2)}^{0} n^{0}) + 3 \cdot {(m)}^{2} \cdot {(- 2 n)}^{1} + 3 \cdot {(m)}^{1} \cdot {(- 2 n)}^{2} + 1 \cdot {(m)}^{0} \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(- 2)}^{0} m^{3} n^{0} + 3 \cdot {(m)}^{2} \cdot {(- 2 n)}^{1} + 3 \cdot {(m)}^{1} \cdot {(- 2 n)}^{2} + 1 \cdot {(m)}^{0} \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 m^{3} n^{0} + 3 \cdot {(m)}^{2} \cdot {(- 2 n)}^{1} + 3 \cdot {(m)}^{1} \cdot {(- 2 n)}^{2} + 1 \cdot {(m)}^{0} \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4.5

Multipliez $m^{3}$ par $1$ .

$m^{3} n^{0} + 3 \cdot {(m)}^{2} \cdot {(- 2 n)}^{1} + 3 \cdot {(m)}^{1} \cdot {(- 2 n)}^{2} + 1 \cdot {(m)}^{0} \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$m^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(m)}^{2} \cdot {(- 2 n)}^{1} + 3 \cdot {(m)}^{1} \cdot {(- 2 n)}^{2} + 1 \cdot {(m)}^{0} \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4.7

Multipliez $m^{3}$ par $1$ .

$m^{3} + 3 \cdot {(m)}^{2} \cdot {(- 2 n)}^{1} + 3 \cdot {(m)}^{1} \cdot {(- 2 n)}^{2} + 1 \cdot {(m)}^{0} \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4.8

Simplifiez

$m^{3} + 3 m^{2} \cdot (- 2 n) + 3 \cdot {(m)}^{1} \cdot {(- 2 n)}^{2} + 1 \cdot {(m)}^{0} \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$m^{3} + 3 \cdot - 2 m^{2} n + 3 \cdot {(m)}^{1} \cdot {(- 2 n)}^{2} + 1 \cdot {(m)}^{0} \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4.10

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$m^{3} - 6 m^{2} n + 3 \cdot {(m)}^{1} \cdot {(- 2 n)}^{2} + 1 \cdot {(m)}^{0} \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4.11

Simplifiez

$m^{3} - 6 m^{2} n + 3 \cdot m \cdot {(- 2 n)}^{2} + 1 \cdot {(m)}^{0} \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4.12

Appliquez la règle de produit à $- 2 n$ .

$m^{3} - 6 m^{2} n + 3 m \cdot ({(- 2)}^{2} n^{2}) + 1 \cdot {(m)}^{0} \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4.13

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$m^{3} - 6 m^{2} n + 3 \cdot {(- 2)}^{2} m n^{2} + 1 \cdot {(m)}^{0} \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4.14

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$m^{3} - 6 m^{2} n + 3 \cdot 4 m n^{2} + 1 \cdot {(m)}^{0} \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4.15

Multipliez $3$ par $4$ .

$m^{3} - 6 m^{2} n + 12 m n^{2} + 1 \cdot {(m)}^{0} \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4.16

Multipliez ${(m)}^{0}$ par $1$ .

$m^{3} - 6 m^{2} n + 12 m n^{2} + {(m)}^{0} \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4.17

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$m^{3} - 6 m^{2} n + 12 m n^{2} + 1 \cdot {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4.18

Multipliez ${(- 2 n)}^{3}$ par $1$ .

$m^{3} - 6 m^{2} n + 12 m n^{2} + {(- 2 n)}^{3}$

Étape 4.19

Appliquez la règle de produit à $- 2 n$ .

$m^{3} - 6 m^{2} n + 12 m n^{2} + {(- 2)}^{3} n^{3}$

Étape 4.20

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$m^{3} - 6 m^{2} n + 12 m n^{2} - 8 n^{3}$