Algèbre Exemples

$6^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{4}} = 6^{\frac{x}{y}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{4}}$ .

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{4}}$

Étape 2

Multipliez $6^{\frac{1}{3}}$ par $6^{\frac{1}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Étape 2.3

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{4}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 2.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{4}{12} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 2.4.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{4}{12} + \frac{3}{4 \cdot 3}}$

Étape 2.4.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{4}{12} + \frac{3}{12}}$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{4 + 3}{12}}$

Étape 2.6

Additionnez $4$ et $3$ .

$6^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{7}{12}}$

Étape 3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$\frac{x}{y} = \frac{7}{12}$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 12$

Étape 4.1.2

Since $y, 12$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 12$ then find LCM for the variable part $y^{1}$ .

Étape 4.1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 4.1.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 4.1.5

Les facteurs premiers pour $12$ sont $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Étape 4.1.5.1

$12$ a des facteurs de $2$ et $6$ .

$2 \cdot 6$

Étape 4.1.5.2

$6$ a des facteurs de $2$ et $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Étape 4.1.6

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Étape 4.1.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 3$

Étape 4.1.6.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$12$

Étape 4.1.7

Le facteur pour $y^{1}$ est $y$ lui-même.

$y^{1} = y$

$y$ se produit $1$ fois.

Étape 4.1.8

Le plus petit multiple commun de $y^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$y$

Étape 4.1.9

Le plus petit multiple commun pour $y, 12$ est la partie numérique $12$ multipliée par la partie variable.

$12 y$

Étape 4.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{x}{y} = \frac{7}{12}$ par $12 y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x}{y} = \frac{7}{12}$ par $12 y$ .

$\frac{x}{y} (12 y) = \frac{7}{12} (12 y)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 \frac{x}{y} y = \frac{7}{12} (12 y)$

Étape 4.2.2.2

Associez $12$ et $\frac{x}{y}$ .

$\frac{12 x}{y} y = \frac{7}{12} (12 y)$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x}{y} y = \frac{7}{12} (12 y)$

Étape 4.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$12 x = \frac{7}{12} (12 y)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 y$ .

$12 x = \frac{7}{12} (12 (y))$

Étape 4.2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$12 x = \frac{7}{12} (12 y)$

Étape 4.2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$12 x = 7 y$

Étape 4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 4.3.1

Réécrivez l’équation comme $7 y = 12 x$ .

$7 y = 12 x$

Étape 4.3.2

Divisez chaque terme dans $7 y = 12 x$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.1

Divisez chaque terme dans $7 y = 12 x$ par $7$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{12 x}{7}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 y}{7} = \frac{12 x}{7}$

Étape 4.3.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{12 x}{7}$

Étape 5

Pour réécrire comme une fonction de $x$ , écrivez l’équation de sorte que $y$ figure seul d’un côté du signe égal et qu’une expression avec uniquement $x$ figure de l’autre côté.

$f (x) = \frac{12 x}{7}$