Algèbre Exemples

$x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Étape 1

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 7, \pm 49$

$q = \pm 1$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 7, \pm 49$

Étape 2

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x - 7}$ quand $x = 7$ .

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Étape 2.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

Étape 2.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

Étape 2.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(7)$ et placez le résultat de $(7)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$
	$1$

Étape 2.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$
	$1$	$7$

Étape 2.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(7)$ par le diviseur $(7)$ et placez le résultat de $(49)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 48)$ .

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$
	$1$	$7$

Étape 2.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$
	$1$	$7$	$1$

Étape 2.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(7)$ et placez le résultat de $(7)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$
	$1$	$7$	$1$

Étape 2.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$
	$1$	$7$	$1$	$7$

Étape 2.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(7)$ par le diviseur $(7)$ et placez le résultat de $(49)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 49)$ .

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$	$49$
	$1$	$7$	$1$	$7$

Étape 2.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$	$49$
	$1$	$7$	$1$	$7$	$0$

Étape 2.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + 7 x^{2} + (1) x + 7$

Étape 2.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} + 7 x^{2} + x + 7$

Étape 3

Comme $7 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $7$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $7$

Étape 4

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x + 7}$ quand $x = - 7$ .

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Étape 4.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

Étape 4.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

Étape 4.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 7)$ et placez le résultat de $(- 7)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$
	$1$

Étape 4.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$
	$1$	$- 7$

Étape 4.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 7)$ par le diviseur $(- 7)$ et placez le résultat de $(49)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 48)$ .

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$

Étape 4.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$1$

Étape 4.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 7)$ et placez le résultat de $(- 7)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$
	$1$	$- 7$	$1$

Étape 4.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$
	$1$	$- 7$	$1$	$- 7$

Étape 4.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 7)$ par le diviseur $(- 7)$ et placez le résultat de $(49)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 49)$ .

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$1$	$- 7$

Étape 4.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$1$	$- 7$	$0$

Étape 4.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + - 7 x^{2} + (1) x - 7$

Étape 4.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - 7 x^{2} + x - 7$

Étape 5

Comme $- 7 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 7$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 7$

Étape 6

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x - 49}$ quand $x = 49$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(49)$ et placez le résultat de $(49)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$
	$1$	$49$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(49)$ par le diviseur $(49)$ et placez le résultat de $(2401)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 48)$ .

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$
	$1$	$49$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$
	$1$	$49$	$2353$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2353)$ par le diviseur $(49)$ et placez le résultat de $(115297)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$
	$1$	$49$	$2353$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$
	$1$	$49$	$2353$	$115297$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(115297)$ par le diviseur $(49)$ et placez le résultat de $(5649553)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 49)$ .

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$	$5649553$
	$1$	$49$	$2353$	$115297$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$	$5649553$
	$1$	$49$	$2353$	$115297$	$5649504$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + 49 x^{2} + (2353) x + 115297 + \frac{5649504}{x - 49}$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} + 49 x^{2} + 2353 x + 115297 + \frac{5649504}{x - 49}$

Étape 7

Comme $49 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $49$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $49$

Étape 8

Appliquez la division synthétique sur $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x + 49}$ quand $x = - 49$ .

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Étape 8.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

Étape 8.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

Étape 8.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 49)$ et placez le résultat de $(- 49)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$
	$1$

Étape 8.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$
	$1$	$- 49$

Étape 8.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 49)$ par le diviseur $(- 49)$ et placez le résultat de $(2401)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 48)$ .

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$
	$1$	$- 49$

Étape 8.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$
	$1$	$- 49$	$2353$

Étape 8.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2353)$ par le diviseur $(- 49)$ et placez le résultat de $(- 115297)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$
	$1$	$- 49$	$2353$

Étape 8.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$
	$1$	$- 49$	$2353$	$- 115297$

Étape 8.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 115297)$ par le diviseur $(- 49)$ et placez le résultat de $(5649553)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 49)$ .

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$	$5649553$
	$1$	$- 49$	$2353$	$- 115297$

Étape 8.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$	$5649553$
	$1$	$- 49$	$2353$	$- 115297$	$5649504$

Étape 8.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + - 49 x^{2} + (2353) x - 115297 + \frac{5649504}{x + 49}$

Étape 8.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - 49 x^{2} + 2353 x - 115297 + \frac{5649504}{x + 49}$

Étape 9

Comme $- 49 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 49$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 49$

Étape 10

Déterminez les limites supérieures et inférieures.

Bornes supérieures : $7, 49$

Bornes inférieures : $- 7, - 49$

Étape 11