Algèbre Exemples

$x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 65, \pm 5, \pm 13$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 65, \pm 5, \pm 13$

Étape 3

Remplacez $5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $5$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $5$ dans le polynôme.

$5^{3} - 11 \cdot 5^{2} + 43 \cdot 5 - 65$

Étape 3.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$125 - 11 \cdot 5^{2} + 43 \cdot 5 - 65$

Étape 3.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$125 - 11 \cdot 25 + 43 \cdot 5 - 65$

Étape 3.4

Multipliez $- 11$ par $25$ .

$125 - 275 + 43 \cdot 5 - 65$

Étape 3.5

Soustrayez $275$ de $125$ .

$- 150 + 43 \cdot 5 - 65$

Étape 3.6

Multipliez $43$ par $5$ .

$- 150 + 215 - 65$

Étape 3.7

Additionnez $- 150$ et $215$ .

$65 - 65$

Étape 3.8

Soustrayez $65$ de $65$ .

$0$

Étape 4

Comme $5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65}{x - 5}$

Étape 5

Divisez $x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ par $x - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$43 x$

$65$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Étape 5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$

Étape 5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$

Étape 5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$

Étape 5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x^{2} + 30 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$

Étape 5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$

Étape 5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$

Étape 5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $13 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$

Étape 5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$
							+	$13 x$	-	$65$

Étape 5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $13 x - 65$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$
							-	$13 x$	+	$65$

Étape 5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$
							-	$13 x$	+	$65$
										$0$

Étape 5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 6 x + 13$

Étape 6

Écrivez $x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 5) (x^{2} - 6 x + 13)$