Algèbre Exemples

$\frac{2 x}{x + 7}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{2 y}{y + 7}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2 y}{y + 7} = x$ .

$\frac{2 y}{y + 7} = x$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y + 7, 1$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y + 7, 1$

Étape 2.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y + 7$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{2 y}{y + 7} = x$ par $y + 7$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2 y}{y + 7} = x$ par $y + 7$ .

$\frac{2 y}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y + 7$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 y = x (y + 7)$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y = x y + x \cdot 7$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$2 y = x y + 7 x$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Soustrayez $x y$ des deux côtés de l’équation.

$2 y - x y = 7 x$

Étape 2.4.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y - x y$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$y \cdot 2 - x y = 7 x$

Étape 2.4.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- x y$ .

$y \cdot 2 + y (- x) = 7 x$

Étape 2.4.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 2 + y (- x)$ .

$y (2 - x) = 7 x$

Étape 2.4.3

Divisez chaque terme dans $y (2 - x) = 7 x$ par $2 - x$ et simplifiez.

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Étape 2.4.3.1

Divisez chaque terme dans $y (2 - x) = 7 x$ par $2 - x$ .

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{7 x}{2 - x}$

Étape 2.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{7 x}{2 - x}$

Étape 2.4.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{7 x}{2 - x}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{2 - x}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{2 - x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x}{x + 7}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{2 - (\frac{2 x}{x + 7})}$

Étape 4.2.3

Associez $7$ et $\frac{2 x}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{2 - \frac{2 x}{x + 7}}$

Étape 4.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.4.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{2 (x + 7)}{x + 7} - \frac{2 x}{x + 7}}$

Étape 4.2.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{2 (x + 7) - 2 x}{x + 7}}$

Étape 4.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{- 2 x + 2 (x + 7)}{x + 7}}$

Étape 4.2.4.4

Réécrivez $\frac{- 2 x + 2 (x + 7)}{x + 7}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 2 (x + 7)$ .

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Étape 4.2.4.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{2 (- x) + 2 (x + 7)}{x + 7}}$

Étape 4.2.4.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (x + 7)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{2 (- x + x + 7)}{x + 7}}$

Étape 4.2.4.4.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{2 (0 + 7)}{x + 7}}$

Étape 4.2.4.4.3

Additionnez $0$ et $7$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{2 \cdot 7}{x + 7}}$

Étape 4.2.4.5

Multipliez $2$ par $7$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{14}{x + 7}}$

Étape 4.2.5

Multipliez $7$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{14 x}{x + 7}}{\frac{14}{x + 7}}$

Étape 4.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{14 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Étape 4.2.7

Annulez le facteur commun de $14$ .

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Étape 4.2.7.1

Factorisez $14$ à partir de $14 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{14 (x)}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Étape 4.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{14 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Étape 4.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Étape 4.2.8

Annulez le facteur commun de $x + 7$ .

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Étape 4.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Étape 4.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{7 x}{2 - x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 - x})}{(\frac{7 x}{2 - x}) + 7}$

Étape 4.3.3

Associez $2$ et $\frac{7 x}{2 - x}$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 x}{2 - x} + 7}$

Étape 4.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.4.1

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 x}{2 - x} + \frac{7 (2 - x)}{2 - x}}$

Étape 4.3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 x + 7 (2 - x)}{2 - x}}$

Étape 4.3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 x + 7 (2 - x)}{- x + 2}}$

Étape 4.3.4.4

Réécrivez $\frac{7 x + 7 (2 - x)}{- x + 2}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.4.4.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x + 7 (2 - x)$ .

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Étape 4.3.4.4.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 (x) + 7 (2 - x)}{- x + 2}}$

Étape 4.3.4.4.1.2

Factorisez $7$ à partir de $7 (x) + 7 (2 - x)$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 (x + 2 - x)}{- x + 2}}$

Étape 4.3.4.4.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 (0 + 2)}{- x + 2}}$

Étape 4.3.4.4.3

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 \cdot 2}{- x + 2}}$

Étape 4.3.4.5

Multipliez $7$ par $2$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{14}{- x + 2}}$

Étape 4.3.5

Multipliez $2$ par $7$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{14 x}{2 - x}}{\frac{14}{- x + 2}}$

Étape 4.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{14 x}{2 - x} \cdot \frac{- x + 2}{14}$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $14$ .

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Étape 4.3.7.1

Factorisez $14$ à partir de $14 x$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{14 (x)}{2 - x} \cdot \frac{- x + 2}{14}$

Étape 4.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{14 x}{2 - x} \cdot \frac{- x + 2}{14}$

Étape 4.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{x}{2 - x} \cdot (- x + 2)$

Étape 4.3.8

Multipliez $\frac{x}{2 - x}$ par $- x + 2$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{x (- x + 2)}{2 - x}$

Étape 4.3.9

Annulez le facteur commun à $- x + 2$ et $2 - x$ .

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Étape 4.3.9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{x (- x + 2)}{- x + 2}$

Étape 4.3.9.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{x (- x + 2)}{- x + 2}$

Étape 4.3.9.3

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{2 - x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{2 - x}$