Algèbre Exemples

$\frac{5 x}{x + 7}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{5 y}{y + 7}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{5 y}{y + 7} = x$ .

$\frac{5 y}{y + 7} = x$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y + 7, 1$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y + 7, 1$

Étape 2.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y + 7$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{5 y}{y + 7} = x$ par $y + 7$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{5 y}{y + 7} = x$ par $y + 7$ .

$\frac{5 y}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y + 7$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 y = x (y + 7)$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 y = x y + x \cdot 7$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$5 y = x y + 7 x$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Soustrayez $x y$ des deux côtés de l’équation.

$5 y - x y = 7 x$

Étape 2.4.2

Factorisez $y$ à partir de $5 y - x y$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $5 y$ .

$y \cdot 5 - x y = 7 x$

Étape 2.4.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- x y$ .

$y \cdot 5 + y (- x) = 7 x$

Étape 2.4.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 5 + y (- x)$ .

$y (5 - x) = 7 x$

Étape 2.4.3

Divisez chaque terme dans $y (5 - x) = 7 x$ par $5 - x$ et simplifiez.

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Étape 2.4.3.1

Divisez chaque terme dans $y (5 - x) = 7 x$ par $5 - x$ .

$\frac{y (5 - x)}{5 - x} = \frac{7 x}{5 - x}$

Étape 2.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5 - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (5 - x)}{5 - x} = \frac{7 x}{5 - x}$

Étape 2.4.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{7 x}{5 - x}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{5 - x}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{5 - x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{5 x}{x + 7}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{5 x}{x + 7})}{5 - (\frac{5 x}{x + 7})}$

Étape 4.2.3

Associez $7$ et $\frac{5 x}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (5 x)}{x + 7}}{5 - \frac{5 x}{x + 7}}$

Étape 4.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.4.1

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (5 x)}{x + 7}}{\frac{5 (x + 7)}{x + 7} - \frac{5 x}{x + 7}}$

Étape 4.2.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (5 x)}{x + 7}}{\frac{5 (x + 7) - 5 x}{x + 7}}$

Étape 4.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (5 x)}{x + 7}}{\frac{- 5 x + 5 (x + 7)}{x + 7}}$

Étape 4.2.4.4

Réécrivez $\frac{- 5 x + 5 (x + 7)}{x + 7}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.4.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x + 5 (x + 7)$ .

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Étape 4.2.4.4.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (5 x)}{x + 7}}{\frac{5 (- x) + 5 (x + 7)}{x + 7}}$

Étape 4.2.4.4.1.2

Factorisez $5$ à partir de $5 (- x) + 5 (x + 7)$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (5 x)}{x + 7}}{\frac{5 (- x + x + 7)}{x + 7}}$

Étape 4.2.4.4.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (5 x)}{x + 7}}{\frac{5 (0 + 7)}{x + 7}}$

Étape 4.2.4.4.3

Additionnez $0$ et $7$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (5 x)}{x + 7}}{\frac{5 \cdot 7}{x + 7}}$

Étape 4.2.4.5

Multipliez $5$ par $7$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (5 x)}{x + 7}}{\frac{35}{x + 7}}$

Étape 4.2.5

Multipliez $7$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{\frac{35 x}{x + 7}}{\frac{35}{x + 7}}$

Étape 4.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{35 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{35}$

Étape 4.2.7

Annulez le facteur commun de $35$ .

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Étape 4.2.7.1

Factorisez $35$ à partir de $35 x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{35 (x)}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{35}$

Étape 4.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{35 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{35}$

Étape 4.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Étape 4.2.8

Annulez le facteur commun de $x + 7$ .

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Étape 4.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Étape 4.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{5 x}{x + 7}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{7 x}{5 - x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{5 (\frac{7 x}{5 - x})}{(\frac{7 x}{5 - x}) + 7}$

Étape 4.3.3

Associez $5$ et $\frac{7 x}{5 - x}$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (7 x)}{5 - x}}{\frac{7 x}{5 - x} + 7}$

Étape 4.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.4.1

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5 - x}{5 - x}$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (7 x)}{5 - x}}{\frac{7 x}{5 - x} + \frac{7 (5 - x)}{5 - x}}$

Étape 4.3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (7 x)}{5 - x}}{\frac{7 x + 7 (5 - x)}{5 - x}}$

Étape 4.3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (7 x)}{5 - x}}{\frac{7 x + 7 (5 - x)}{- x + 5}}$

Étape 4.3.4.4

Réécrivez $\frac{7 x + 7 (5 - x)}{- x + 5}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.4.4.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x + 7 (5 - x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.4.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (7 x)}{5 - x}}{\frac{7 (x) + 7 (5 - x)}{- x + 5}}$

Étape 4.3.4.4.1.2

Factorisez $7$ à partir de $7 (x) + 7 (5 - x)$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (7 x)}{5 - x}}{\frac{7 (x + 5 - x)}{- x + 5}}$

Étape 4.3.4.4.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (7 x)}{5 - x}}{\frac{7 (0 + 5)}{- x + 5}}$

Étape 4.3.4.4.3

Additionnez $0$ et $5$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (7 x)}{5 - x}}{\frac{7 \cdot 5}{- x + 5}}$

Étape 4.3.4.5

Multipliez $7$ par $5$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{5 (7 x)}{5 - x}}{\frac{35}{- x + 5}}$

Étape 4.3.5

Multipliez $5$ par $7$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{\frac{35 x}{5 - x}}{\frac{35}{- x + 5}}$

Étape 4.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{35 x}{5 - x} \cdot \frac{- x + 5}{35}$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $35$ .

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Étape 4.3.7.1

Factorisez $35$ à partir de $35 x$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{35 (x)}{5 - x} \cdot \frac{- x + 5}{35}$

Étape 4.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{35 x}{5 - x} \cdot \frac{- x + 5}{35}$

Étape 4.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{x}{5 - x} \cdot (- x + 5)$

Étape 4.3.8

Multipliez $\frac{x}{5 - x}$ par $- x + 5$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{x (- x + 5)}{5 - x}$

Étape 4.3.9

Annulez le facteur commun à $- x + 5$ et $5 - x$ .

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Étape 4.3.9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{x (- x + 5)}{- x + 5}$

Étape 4.3.9.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = \frac{x (- x + 5)}{- x + 5}$

Étape 4.3.9.3

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{7 x}{5 - x}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{5 - x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{5 x}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{5 - x}$