Algèbre Exemples

$\sqrt[3]{x} - 6$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[3]{y} - 6$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{y} - 6 = x$ .

$\sqrt[3]{y} - 6 = x$

Étape 2.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt[3]{y} = x + 6$

Étape 2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x + 6)}^{3}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y}$ comme $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 6)}^{3}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 6)}^{3}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 6)}^{3}$

Étape 2.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(x + 6)}^{3}$

Étape 2.4.2.1.2

Simplifiez

$y = {(x + 6)}^{3}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(x + 6)}^{3}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 6 + 3 x \cdot 6^{2} + 6^{3}$

Étape 2.4.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1.2.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$y = x^{3} + 18 x^{2} + 3 x \cdot 6^{2} + 6^{3}$

Étape 2.4.3.1.2.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y = x^{3} + 18 x^{2} + 3 x \cdot 36 + 6^{3}$

Étape 2.4.3.1.2.3

Multipliez $36$ par $3$ .

$y = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 6^{3}$

Étape 2.4.3.1.2.4

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$y = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{x} - 6$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 4.2.3.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.2.1.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.2.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.2.3

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.2.4

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 36 + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.2.5

Multipliez $36$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.2.6

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.3

Réécrivez ${(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2}$ comme $(\sqrt[3]{x} - 6) (\sqrt[3]{x} - 6)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 ((\sqrt[3]{x} - 6) (\sqrt[3]{x} - 6)) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.4

Développez $(\sqrt[3]{x} - 6) (\sqrt[3]{x} - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} - 6) - 6 (\sqrt[3]{x} - 6)) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 (\sqrt[3]{x} - 6)) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.5.1.1

Multipliez $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

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Étape 4.2.3.5.1.1.1

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.5.1.1.2

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.5.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 ({\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.5.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 ({\sqrt[3]{x}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.5.1.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.5.1.3

Déplacez $- 6$ à gauche de $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x^{2}} - 6 \cdot \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.5.1.4

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt[3]{x} + 36) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.5.2

Soustrayez $6 \sqrt[3]{x}$ de $- 6 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 36) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 18 (- 12 \sqrt[3]{x}) + 18 \cdot 36 + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.7

Simplifiez

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Étape 4.2.3.7.1

Multipliez $- 12$ par $18$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 \sqrt[3]{x^{2}} - 216 \sqrt[3]{x} + 18 \cdot 36 + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.7.2

Multipliez $18$ par $36$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 \sqrt[3]{x^{2}} - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Étape 4.2.3.8

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 \sqrt[3]{x^{2}} - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} + 108 \cdot - 6 + 216$

Étape 4.2.3.9

Multipliez $108$ par $- 6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 \sqrt[3]{x^{2}} - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 648 + 216$

Étape 4.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 \sqrt[3]{x^{2}} - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 648 + 216$ .

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Étape 4.2.4.1.1

Additionnez $- 18 \sqrt[3]{x^{2}}$ et $18 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 0 + 108 \sqrt[3]{x} - 216 - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 648 + 216$

Étape 4.2.4.1.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 108 \sqrt[3]{x} - 216 - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 648 + 216$

Étape 4.2.4.1.3

Soustrayez $648$ de $648$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 108 \sqrt[3]{x} - 216 - 216 \sqrt[3]{x} + 0 + 108 \sqrt[3]{x} + 216$

Étape 4.2.4.1.4

Additionnez $x + 108 \sqrt[3]{x} - 216 - 216 \sqrt[3]{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 108 \sqrt[3]{x} - 216 - 216 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x} + 216$

Étape 4.2.4.1.5

Additionnez $- 216$ et $216$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 108 \sqrt[3]{x} + 0 - 216 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$

Étape 4.2.4.1.6

Additionnez $x + 108 \sqrt[3]{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 108 \sqrt[3]{x} - 216 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$

Étape 4.2.4.2

Soustrayez $216 \sqrt[3]{x}$ de $108 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 108 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$

Étape 4.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 108 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$ .

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Étape 4.2.4.3.1

Additionnez $- 108 \sqrt[3]{x}$ et $108 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 0$

Étape 4.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = \sqrt[3]{x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216} - 6$

Étape 4.3.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = \sqrt[3]{x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216} - 6$

Étape 4.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.4.1

Faites correspondre chaque terme aux termes de la formule du théorème du binôme.

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = \sqrt[3]{x^{3} + 3 \cdot (6 x^{2}) + 3 \cdot (6^{2} x) + 6^{3}} - 6$

Étape 4.3.4.2

Factorisez $x^{3} + 3 \cdot 6 x^{2} + 3 \cdot 6^{2} x + 6^{3}$ en utilisant le théorème du binôme.

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = \sqrt[3]{{(x + 6)}^{3}} - 6$

Étape 4.3.4.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = x + 6 - 6$

Étape 4.3.5

Associez les termes opposés dans $x + 6 - 6$ .

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Étape 4.3.5.1

Soustrayez $6$ de $6$ .

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = x + 0$

Étape 4.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{x} - 6$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216$