Algèbre Exemples

$8^{x}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 8^{y}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $8^{y} = x$ .

$8^{y} = x$

Étape 2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (8^{y}) = \ln (x)$

Étape 2.3

Développez $\ln (8^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (8) = \ln (x)$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $y \ln (8) = \ln (x)$ par $\ln (8)$ et simplifiez.

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Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (8) = \ln (x)$ par $\ln (8)$ .

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (8)$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$

Étape 2.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ est l’inverse de $f (x) = 8^{x}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} \cdot 8^{x}$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 8^{x} = \frac{\ln (8^{x})}{\ln (8)}$

Étape 4.2.3

Développez $\ln (8^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$f^{- 1} \cdot 8^{x} = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $\ln (8)$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} \cdot 8^{x} = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

Étape 4.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} \cdot 8^{x} = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (x)}{\ln (8)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) = 8^{\frac{\ln (x)}{\ln (8)}}$

Étape 4.3.3

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) = 8^{\log_{8} (x)}$

Étape 4.3.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ est l’inverse de $f (x) = 8^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$