Algèbre Exemples

$4$ , $2 i$

Étape 1

Les racines sont les points où le graphe croise l’axe des x $(y = 0)$ .

$y = 0$ aux racines

Étape 2

La racine sur $x = 4$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (4) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - 4$

Étape 3

La racine sur $x = 2 i$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (2 i) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - 2 i$

Étape 4

La racine sur $x = - 2 i$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (- 2 i) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x + 2 i$

Étape 5

Associez tous les facteurs en une équation unique.

$y = (x - 4) (x - 2 i) (x + 2 i)$

Étape 6

Multipliez tous les facteurs pour simplifier l’équation $y = (x - 4) (x - 2 i) (x + 2 i)$ .

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Étape 6.1

Développez $(x - 4) (x - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x (x - 2 i) - 4 (x - 2 i)) (x + 2 i)$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + x (- 2 i) - 4 (x - 2 i)) (x + 2 i)$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + x (- 2 i) - 4 x - 4 (- 2 i)) (x + 2 i)$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = (x^{2} + x (- 2 i) - 4 x - 4 (- 2 i)) (x + 2 i)$

Étape 6.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$y = (x^{2} + x (- 2 i) - 4 x + 8 i) (x + 2 i)$

Étape 6.3

Développez $(x^{2} + x (- 2 i) - 4 x + 8 i) (x + 2 i)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y = x^{2} x + x^{2} (2 i) + x (- 2 i) x + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Étape 6.4

Simplifiez les termes.

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Étape 6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.4.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = x^{2} x + x^{2} (2 i) + x (- 2 i) x + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Étape 6.4.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{2 + 1} + x^{2} (2 i) + x (- 2 i) x + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Étape 6.4.1.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (2 i) + x (- 2 i) x + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Étape 6.4.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = x^{3} + 2 \cdot (x^{2} i) + x (- 2 i) x + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Étape 6.4.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.3.1

Déplacez $x$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x \cdot x (- 2 i) + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Étape 6.4.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Étape 6.4.1.4

Multipliez $x (- 2 i) (2 i)$ .

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Étape 6.4.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 4 i) i - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Étape 6.4.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 4 (i i)) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Étape 6.4.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 4 (i i)) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Étape 6.4.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 4 i^{1 + 1}) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Étape 6.4.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 4 i^{2}) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Étape 6.4.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 4 \cdot - 1) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Étape 6.4.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x \cdot 4 - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Étape 6.4.1.7

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 \cdot x - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Étape 6.4.1.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.8.1

Déplacez $x$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 (x \cdot x) - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Étape 6.4.1.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Étape 6.4.1.9

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 8 i (2 i)$

Étape 6.4.1.10

Multipliez $8 i (2 i)$ .

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Étape 6.4.1.10.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 16 i i$

Étape 6.4.1.10.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 16 (i i)$

Étape 6.4.1.10.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 16 (i i)$

Étape 6.4.1.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 16 i^{1 + 1}$

Étape 6.4.1.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 16 i^{2}$

Étape 6.4.1.11

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 16 \cdot - 1$

Étape 6.4.1.12

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x - 16$

Étape 6.4.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.4.2.1

Associez les termes opposés dans $x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x - 16$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 x^{2} i$ et $x^{2} (- 2 i)$ .

$y = x^{3} + 2 i x^{2} - 2 i x^{2} + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x - 16$

Étape 6.4.2.1.2

Soustrayez $2 i x^{2}$ de $2 i x^{2}$ .

$y = x^{3} + 0 + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x - 16$

Étape 6.4.2.1.3

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$y = x^{3} + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x - 16$

Étape 6.4.2.1.4

Réorganisez les facteurs dans les termes $- 8 x i$ et $8 i x$ .

$y = x^{3} + 4 x - 4 x^{2} - 8 i x + 8 i x - 16$

Étape 6.4.2.1.5

Additionnez $- 8 i x$ et $8 i x$ .

$y = x^{3} + 4 x - 4 x^{2} + 0 - 16$

Étape 6.4.2.1.6

Additionnez $x^{3} + 4 x - 4 x^{2}$ et $0$ .

$y = x^{3} + 4 x - 4 x^{2} - 16$

Étape 6.4.2.2

Déplacez $4 x$ .

$y = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 16$

Étape 7