Algèbre Exemples

$f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{3} + 74 x^{2} - 50 x - 25$

Étape 1

Regroupez les termes.

$f (x) = - 2 x^{3} - 50 x + 3 x^{4} + 74 x^{2} - 25$

Étape 2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{3} - 50 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{2} - 50 x + 3 x^{4} + 74 x^{2} - 25$

Étape 2.2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 50 x$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 25 + 3 x^{4} + 74 x^{2} - 25$

Étape 2.3

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (25)$ .

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 x^{4} + 74 x^{2} - 25$

Étape 3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 {(x^{2})}^{2} + 74 x^{2} - 25$

Étape 4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 u^{2} + 74 u - 25$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + i x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 25 = - 75$ et dont la somme est $i = 74$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $74$ à partir de $74 u$ .

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 u^{2} + 74 (u) - 25$

Étape 5.1.2

Réécrivez $74$ comme $- 1$ plus $75$

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 u^{2} + (- 1 + 75) u - 25$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 u^{2} - 1 u + 75 u - 25$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + 3 u^{2} - 1 u + 75 u - 25$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + u (3 u - 1) + 25 (3 u - 1)$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u - 1$ .

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + (3 u - 1) (u + 25)$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f (x) = - 2 x (x^{2} + 25) + (3 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$

Étape 7

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $- 2 x (x^{2} + 25) + (3 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $- 2 x (x^{2} + 25)$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) (- 2 x) + (3 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$

Étape 7.2

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $(3 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) (- 2 x) + (x^{2} + 25) (3 x^{2} - 1)$

Étape 7.3

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $(x^{2} + 25) (- 2 x) + (x^{2} + 25) (3 x^{2} - 1)$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) (- 2 x + 3 x^{2} - 1)$

Étape 8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) (- 2 u + 3 u^{2} - 1)$

Étape 9

Factorisez par regroupement.

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Étape 9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x) = (x^{2} + 25) (3 u^{2} - 2 u - 1)$

Étape 9.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + i x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ et dont la somme est $i = - 2$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 u$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) (3 u^{2} - 2 u - 1)$

Étape 9.2.2

Réécrivez $- 2$ comme $1$ plus $- 3$

$f (x) = (x^{2} + 25) (3 u^{2} + (1 - 3) u - 1)$

Étape 9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x^{2} + 25) (3 u^{2} + 1 u - 3 u - 1)$

Étape 9.2.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) (3 u^{2} + u - 3 u - 1)$

Étape 9.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x) = (x^{2} + 25) ((3 u^{2} + u) - 3 u - 1)$

Étape 9.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x) = (x^{2} + 25) (u (3 u + 1) - (3 u + 1))$

Étape 9.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u + 1$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) ((3 u + 1) (u - 1))$

Étape 10

Factorisez.

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Étape 10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 25) ((3 x + 1) (x - 1))$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = (x^{2} + 25) (3 x + 1) (x - 1)$