Algèbre Exemples

$4 a + 7 b = - 51$ , $8 a + 3 b = - 20$ , $6 b + 3 c = 18$

Étape 1

Choisissez deux équations et éliminez une variable. Dans ce cas, éliminez $a$ .

$4 a + 7 b = - 51$

$8 a + 3 b = - 20$

Étape 2

Éliminez $a$ du système.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez chaque équation par la valeur qui rend les coefficients de $a$ opposés.

$(- 2) \cdot (4 a + 7 b) = (- 2) (- 51)$

$8 a + 3 b = - 20$

Étape 2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Simplifiez $(- 2) \cdot (4 a + 7 b)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (4 a) - 2 (7 b) = (- 2) (- 51)$

$8 a + 3 b = - 20$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.2.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 8 a - 2 (7 b) = (- 2) (- 51)$

$8 a + 3 b = - 20$

Étape 2.2.1.1.2.2

Multipliez $7$ par $- 2$ .

$- 8 a - 14 b = (- 2) (- 51)$

$8 a + 3 b = - 20$

$- 8 a - 14 b = (- 2) (- 51)$

$8 a + 3 b = - 20$

$- 8 a - 14 b = (- 2) (- 51)$

$8 a + 3 b = - 20$

$- 8 a - 14 b = (- 2) (- 51)$

$8 a + 3 b = - 20$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 51$ .

$- 8 a - 14 b = 102$

$8 a + 3 b = - 20$

$- 8 a - 14 b = 102$

$8 a + 3 b = - 20$

$- 8 a - 14 b = 102$

$8 a + 3 b = - 20$

Étape 2.3

Additionnez les deux équations entre elles pour éliminer $a$ du système.

	$-$	$8$	$a$	$-$	$1$	$4$	$b$	$=$	$1$	$0$	$2$
$+$		$8$	$a$	$+$		$3$	$b$	$=$	$-$	$2$	$0$
				$-$	$1$	$1$	$b$	$=$		$8$	$2$

Étape 2.4

$a$ est éliminé de l’équation résultante.

$- 11 b = 82$

Étape 3

Prenez l’équation résultante et la troisième équation d’origine et éliminez une autre variable. Dans ce cas, éliminez $b$ .

$- 11 b = 82$

$6 b + 3 c = 18$

Étape 4

Éliminez $b$ du système.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez chaque équation par la valeur qui rend les coefficients de $b$ opposés.

$(6) \cdot (- 11 b) = (6) (82)$

$(11) \cdot (6 b + 3 c) = (11) (18)$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 11$ par $6$ .

$- 66 b = (6) (82)$

$(11) \cdot (6 b + 3 c) = (11) (18)$

$- 66 b = (6) (82)$

$(11) \cdot (6 b + 3 c) = (11) (18)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Multipliez $6$ par $82$ .

$- 66 b = 492$

$(11) \cdot (6 b + 3 c) = (11) (18)$

$- 66 b = 492$

$(11) \cdot (6 b + 3 c) = (11) (18)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Simplifiez $(11) \cdot (6 b + 3 c)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 66 b = 492$

$11 (6 b) + 11 (3 c) = (11) (18)$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.2.1

Multipliez $6$ par $11$ .

$- 66 b = 492$

$66 b + 11 (3 c) = (11) (18)$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $3$ par $11$ .

$- 66 b = 492$

$66 b + 33 c = (11) (18)$

$- 66 b = 492$

$66 b + 33 c = (11) (18)$

$- 66 b = 492$

$66 b + 33 c = (11) (18)$

$- 66 b = 492$

$66 b + 33 c = (11) (18)$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Multipliez $11$ par $18$ .

$- 66 b = 492$

$66 b + 33 c = 198$

$- 66 b = 492$

$66 b + 33 c = 198$

$- 66 b = 492$

$66 b + 33 c = 198$

Étape 4.3

Additionnez les deux équations entre elles pour éliminer $b$ du système.

			$-$	$6$	$6$	$b$	$=$	$4$	$9$	$2$
		$+$		$6$	$6$	$b$	$=$	$1$	$9$	$8$
$3$	$3$	$c$					$=$	$6$	$9$	$0$

Étape 4.4

$b$ est éliminé de l’équation résultante.

$33 c = 690$

Étape 4.5

Divisez chaque terme dans $33 c = 690$ par $33$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Divisez chaque terme dans $33 c = 690$ par $33$ .

$\frac{33 c}{33} = \frac{690}{33}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

Annulez le facteur commun de $33$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{33 c}{33} = \frac{690}{33}$

Étape 4.5.2.1.2

Divisez $c$ par $1$ .

$c = \frac{690}{33}$

Étape 4.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1

Annulez le facteur commun à $690$ et $33$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $690$ .

$c = \frac{3 (230)}{33}$

Étape 4.5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $33$ .

$c = \frac{3 \cdot 230}{3 \cdot 11}$

Étape 4.5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$c = \frac{3 \cdot 230}{3 \cdot 11}$

Étape 4.5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$c = \frac{230}{11}$

Étape 5

Remplacez la valeur de $c$ dans une équation avec $a$ déjà éliminé et résolvez pour la variable restante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la valeur de $c$ dans une équation avec $a$ déjà éliminé.

$- 11 b = 82$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- 11 b = 82$ par $- 11$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 11 b = 82$ par $- 11$ .

$\frac{- 11 b}{- 11} = \frac{82}{- 11}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 11$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 11 b}{- 11} = \frac{82}{- 11}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{82}{- 11}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$b = - \frac{82}{11}$

Étape 6

Remplacez la valeur de chaque variable connue dans l’une des équations initiales et résolvez pour la dernière variable.

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Étape 6.1

Remplacez la valeur de chaque variable connue dans l’une des équations initiales.

$4 a + 7 (- \frac{82}{11}) = - 51$

Étape 6.2

Résolvez $a$ .

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Multipliez $7 (- \frac{82}{11})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$4 a - 7 (\frac{82}{11}) = - 51$

Étape 6.2.1.1.2

Associez $- 7$ et $\frac{82}{11}$ .

$4 a + \frac{- 7 \cdot 82}{11} = - 51$

Étape 6.2.1.1.3

Multipliez $- 7$ par $82$ .

$4 a + \frac{- 574}{11} = - 51$

Étape 6.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 a - \frac{574}{11} = - 51$

Étape 6.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Ajoutez $\frac{574}{11}$ aux deux côtés de l’équation.

$4 a = - 51 + \frac{574}{11}$

Étape 6.2.2.2

Pour écrire $- 51$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{11}{11}$ .

$4 a = - 51 \cdot \frac{11}{11} + \frac{574}{11}$

Étape 6.2.2.3

Associez $- 51$ et $\frac{11}{11}$ .

$4 a = \frac{- 51 \cdot 11}{11} + \frac{574}{11}$

Étape 6.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 a = \frac{- 51 \cdot 11 + 574}{11}$

Étape 6.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.5.1

Multipliez $- 51$ par $11$ .

$4 a = \frac{- 561 + 574}{11}$

Étape 6.2.2.5.2

Additionnez $- 561$ et $574$ .

$4 a = \frac{13}{11}$

Étape 6.2.3

Divisez chaque terme dans $4 a = \frac{13}{11}$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 a = \frac{13}{11}$ par $4$ .

$\frac{4 a}{4} = \frac{\frac{13}{11}}{4}$

Étape 6.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 a}{4} = \frac{\frac{13}{11}}{4}$

Étape 6.2.3.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{\frac{13}{11}}{4}$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$a = \frac{13}{11} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 6.2.3.3.2

Multipliez $\frac{13}{11} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 6.2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{13}{11}$ par $\frac{1}{4}$ .

$a = \frac{13}{11 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.3.2.2

Multipliez $11$ par $4$ .

$a = \frac{13}{44}$

Étape 7

C’est la solution finale au système d’équations.

$c = \frac{230}{11}$

$b = - \frac{82}{11}$

$a = \frac{13}{44}$

	$-$	$8$	$a$	$-$	$1$	$4$	$b$	$=$	$1$	$0$	$2$
$+$		$8$	$a$	$+$		$3$	$b$	$=$	$-$	$2$	$0$
				$-$	$1$	$1$	$b$	$=$		$8$	$2$

			$-$	$6$	$6$	$b$	$=$	$4$	$9$	$2$
		$+$		$6$	$6$	$b$	$=$	$1$	$9$	$8$
$3$	$3$	$c$					$=$	$6$	$9$	$0$

	$-$	$8$	$a$	$-$	$1$	$4$	$b$	$=$	$1$	$0$	$2$
$+$		$8$	$a$	$+$		$3$	$b$	$=$	$-$	$2$	$0$
				$-$	$1$	$1$	$b$	$=$		$8$	$2$

			$-$	$6$	$6$	$b$	$=$	$4$	$9$	$2$
		$+$		$6$	$6$	$b$	$=$	$1$	$9$	$8$
$3$	$3$	$c$					$=$	$6$	$9$	$0$

	$-$	$8$	$a$	$-$	$1$	$4$	$b$	$=$	$1$	$0$	$2$
$+$		$8$	$a$	$+$		$3$	$b$	$=$	$-$	$2$	$0$
				$-$	$1$	$1$	$b$	$=$		$8$	$2$

			$-$	$6$	$6$	$b$	$=$	$4$	$9$	$2$
		$+$		$6$	$6$	$b$	$=$	$1$	$9$	$8$
$3$	$3$	$c$					$=$	$6$	$9$	$0$