Algèbre Exemples

$y = \log_{12} (\frac{1}{x})$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \log_{12} (\frac{1}{y})$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$ .

$\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$

Étape 2.2

Réécrivez $\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$12^{x} = \frac{1}{y}$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{y} = 12^{x}$ .

$\frac{1}{y} = 12^{x}$

Étape 2.3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1$

Étape 2.3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 2.3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{y} = 12^{x}$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{y} = 12^{x}$ par $y$ .

$\frac{1}{y} y = 12^{x} y$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} y = 12^{x} y$

Étape 2.3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 12^{x} y$

Étape 2.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $12^{x} y$ .

$1 = y \cdot 12^{x}$

Étape 2.3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez l’équation comme $y \cdot 12^{x} = 1$ .

$y \cdot 12^{x} = 1$

Étape 2.3.4.2

Divisez chaque terme dans $y \cdot 12^{x} = 1$ par $12^{x}$ et simplifiez.

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Étape 2.3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $y \cdot 12^{x} = 1$ par $12^{x}$ .

$\frac{y \cdot 12^{x}}{12^{x}} = \frac{1}{12^{x}}$

Étape 2.3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $12^{x}$ .

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Étape 2.3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cdot 12^{x}}{12^{x}} = \frac{1}{12^{x}}$

Étape 2.3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{12^{x}}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$ est l’inverse de $f (x) = \log_{12} (\frac{1}{x})$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x}))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = \frac{1}{12^{\log_{12} (\frac{1}{x})}}$

Étape 4.2.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Étape 4.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = 1 x$

Étape 4.2.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{1}{12^{x}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (\frac{1}{\frac{1}{12^{x}}})$

Étape 4.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1 \cdot 12^{x})$

Étape 4.3.4

Réécrivez $\log_{12} (1 \cdot 12^{x})$ comme $\log_{12} (1) + \log_{12} (12^{x})$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + \log_{12} (12^{x})$

Étape 4.3.5

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x \log_{12} (12)$

Étape 4.3.6

La base logarithmique $12$ de $12$ est $1$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x \cdot 1$

Étape 4.3.7

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x$

Étape 4.3.8

La base logarithmique $12$ de $1$ est $0$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = 0 + x$

Étape 4.3.9

Additionnez $0$ et $x$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$ est l’inverse de $f (x) = \log_{12} (\frac{1}{x})$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$