Algèbre Exemples

$x^{5} - 3 x^{4} - 15 x^{3} + 45 x^{2} - 16 x + 48 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Regroupez les termes.

$x^{5} - 15 x^{3} - 16 x - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} - 15 x^{3} - 16 x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 15 x^{3} - 16 x - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 15 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 15 x^{2}) - 16 x - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 16 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 15 x^{2}) + x \cdot - 16 - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Étape 1.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (- 15 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 16 - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Étape 1.2.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 16$ .

$x (x^{4} - 15 x^{2} - 16) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} - 16) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Étape 1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (u^{2} - 15 u - 16) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Étape 1.5

Factorisez $u^{2} - 15 u - 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 16$ et dont la somme est $- 15$ .

$- 16, 1$

Étape 1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x ((u - 16) (u + 1)) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Étape 1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 16) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Étape 1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Étape 1.8

Factorisez.

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Étape 1.8.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$x ((x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Étape 1.8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Étape 1.9

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48$ .

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Étape 1.9.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{4}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 45 x^{2} + 48 = 0$

Étape 1.9.2

Factorisez $3$ à partir de $45 x^{2}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (15 x^{2}) + 48 = 0$

Étape 1.9.3

Factorisez $3$ à partir de $48$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (15 x^{2}) + 3 (16) = 0$

Étape 1.9.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x^{4}) + 3 (15 x^{2})$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 15 x^{2}) + 3 (16) = 0$

Étape 1.9.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x^{4} + 15 x^{2}) + 3 (16)$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 15 x^{2} + 16) = 0$

Étape 1.10

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- {(x^{2})}^{2} + 15 x^{2} + 16) = 0$

Étape 1.11

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 15 u + 16) = 0$

Étape 1.12

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.12.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ et dont la somme est $b = 15$ .

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Étape 1.12.1.1

Factorisez $15$ à partir de $15 u$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 15 (u) + 16) = 0$

Étape 1.12.1.2

Réécrivez $15$ comme $- 1$ plus $16$

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + (- 1 + 16) u + 16) = 0$

Étape 1.12.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} - 1 u + 16 u + 16) = 0$

Étape 1.12.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.12.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- u^{2} - 1 u) + 16 u + 16) = 0$

Étape 1.12.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (u (- u - 1) - 16 (- u - 1)) = 0$

Étape 1.12.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u - 1$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- u - 1) (u - 16)) = 0$

Étape 1.13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 16)) = 0$

Étape 1.14

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 4^{2})) = 0$

Étape 1.15

Factorisez.

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Étape 1.15.1

Factorisez.

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Étape 1.15.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) ((x + 4) (x - 4))) = 0$

Étape 1.15.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4)) = 0$

Étape 1.15.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

Étape 1.16

Factorisez $(x + 4) (x - 4)$ à partir de $x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4)$ .

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Étape 1.16.1

Factorisez $(x + 4) (x - 4)$ à partir de $x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x) (x^{2} + 1)) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

Étape 1.16.2

Factorisez $(x + 4) (x - 4)$ à partir de $3 (- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4)$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 4) (x - 4) (3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Étape 1.16.3

Factorisez $(x + 4) (x - 4)$ à partir de $(x + 4) (x - 4) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 4) (x - 4) (3 (- x^{2} - 1))$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Étape 1.17

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 4) (x - 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Étape 1.18

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.18.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.18.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x + 4) (x - 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Étape 1.18.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 4) (x - 4) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Étape 1.18.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Étape 1.19

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Étape 1.20

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1) = 0$

Étape 1.21

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1) = 0$

Étape 1.22

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x - 3 x^{2} - 3) = 0$

Étape 1.23

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} - 3 x^{2} + x - 3) = 0$

Étape 1.24

Factorisez.

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Étape 1.24.1

Réécrivez $x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ en forme factorisée.

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Étape 1.24.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.24.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 4) (x - 4) ((x^{3} - 3 x^{2}) + x - 3) = 0$

Étape 1.24.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} (x - 3) + 1 (x - 3)) = 0$

Étape 1.24.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 3$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

Étape 1.24.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 4) (x - 4) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 3

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 6.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 6.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 6.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 6.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 4) (x - 4) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$ vraie.

$x = - 4, 4, 3, i, - i$

Étape 8