Algèbre Exemples

$x^{4} + 4 x^{3} + 7 x^{2} + 16 x + 12 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Regroupez les termes.

$4 x^{3} + 16 x + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} + 16 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 16 x + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $4 x$ à partir de $16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (4) + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (4)$ .

$4 x (x^{2} + 4) + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Étape 1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$4 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 7 u + 12 = 0$

Étape 1.5

Factorisez $u^{2} + 7 u + 12$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $7$ .

$3, 4$

Étape 1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$4 x (x^{2} + 4) + (u + 3) (u + 4) = 0$

Étape 1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$4 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) = 0$

Étape 1.7

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $4 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $4 x (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) = 0$

Étape 1.7.2

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $(x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 3) = 0$

Étape 1.7.3

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 3)$ .

$(x^{2} + 4) (4 x + x^{2} + 3) = 0$

Étape 1.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} + 4) (4 u + u^{2} + 3) = 0$

Étape 1.9

Factorisez $4 u + u^{2} + 3$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 1.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{2} + 4) ((u + 1) (u + 3)) = 0$

Étape 1.10

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} + 4) ((x + 1) (x + 3)) = 0$

Étape 1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 4) (x + 1) (x + 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 3

Définissez $x^{2} + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez $x^{2} + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x^{2} + 4 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 4$

Étape 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 3.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 3.2.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 3.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 3.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 4) (x + 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 2 i, - 2 i, - 1, - 3$

Étape 7