Algèbre Exemples

$2 + \sqrt{2 x - 3} = \sqrt{x + 7}$

Étape 1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2 x - 3} = \sqrt{x + 7} - 2$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 x - 3}}^{2} = {(\sqrt{x + 7} - 2)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x - 3}$ comme ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x + 7} - 2)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 7} - 2)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 7} - 2)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 x - 3)}^{1} = {(\sqrt{x + 7} - 2)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$2 x - 3 = {(\sqrt{x + 7} - 2)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(\sqrt{x + 7} - 2)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(\sqrt{x + 7} - 2)}^{2}$ comme $(\sqrt{x + 7} - 2) (\sqrt{x + 7} - 2)$ .

$2 x - 3 = (\sqrt{x + 7} - 2) (\sqrt{x + 7} - 2)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(\sqrt{x + 7} - 2) (\sqrt{x + 7} - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 3 = \sqrt{x + 7} (\sqrt{x + 7} - 2) - 2 (\sqrt{x + 7} - 2)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 3 = \sqrt{x + 7} \sqrt{x + 7} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 (\sqrt{x + 7} - 2)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 3 = \sqrt{x + 7} \sqrt{x + 7} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $\sqrt{x + 7} \sqrt{x + 7}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{x + 7}$ à la puissance $1$ .

$2 x - 3 = {\sqrt{x + 7}}^{1} \sqrt{x + 7} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{x + 7}$ à la puissance $1$ .

$2 x - 3 = {\sqrt{x + 7}}^{1} {\sqrt{x + 7}}^{1} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x - 3 = {\sqrt{x + 7}}^{1 + 1} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x - 3 = {\sqrt{x + 7}}^{2} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x + 7}}^{2}$ comme $x + 7$ .

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Étape 3.3.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 7}$ comme ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x - 3 = {({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - 3 = {(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 x - 3 = {(x + 7)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 x - 3 = {(x + 7)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 x - 3 = {(x + 7)}^{1} + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.2.5

Simplifiez

$2 x - 3 = x + 7 + \sqrt{x + 7} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $\sqrt{x + 7}$ .

$2 x - 3 = x + 7 - 2 \cdot \sqrt{x + 7} - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$2 x - 3 = x + 7 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \sqrt{x + 7} + 4$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $7$ et $4$ .

$2 x - 3 = x + 11 - 2 \sqrt{x + 7} - 2 \sqrt{x + 7}$

Étape 3.3.1.3.3

Soustrayez $2 \sqrt{x + 7}$ de $- 2 \sqrt{x + 7}$ .

$2 x - 3 = x + 11 - 4 \sqrt{x + 7}$

Étape 4

Résolvez $- 4 \sqrt{x + 7}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $x + 11 - 4 \sqrt{x + 7} = 2 x - 3$ .

$x + 11 - 4 \sqrt{x + 7} = 2 x - 3$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 4 \sqrt{x + 7}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$11 - 4 \sqrt{x + 7} = 2 x - 3 - x$

Étape 4.2.2

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 \sqrt{x + 7} = 2 x - 3 - x - 11$

Étape 4.2.3

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$- 4 \sqrt{x + 7} = x - 3 - 11$

Étape 4.2.4

Soustrayez $11$ de $- 3$ .

$- 4 \sqrt{x + 7} = x - 14$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 4 \sqrt{x + 7})}^{2} = {(x - 14)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 7}$ comme ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 14)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(- 4 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 4 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} {({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$16 {({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$16 {(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$16 {(x + 7)}^{1} = {(x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$16 (x + 7) = {(x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$16 x + 16 \cdot 7 = {(x - 14)}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $16$ par $7$ .

$16 x + 112 = {(x - 14)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(x - 14)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(x - 14)}^{2}$ comme $(x - 14) (x - 14)$ .

$16 x + 112 = (x - 14) (x - 14)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(x - 14) (x - 14)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$16 x + 112 = x (x - 14) - 14 (x - 14)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$16 x + 112 = x \cdot x + x \cdot - 14 - 14 (x - 14)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$16 x + 112 = x \cdot x + x \cdot - 14 - 14 x - 14 \cdot - 14$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$16 x + 112 = x^{2} + x \cdot - 14 - 14 x - 14 \cdot - 14$

Étape 6.3.1.3.1.2

Déplacez $- 14$ à gauche de $x$ .

$16 x + 112 = x^{2} - 14 \cdot x - 14 x - 14 \cdot - 14$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $- 14$ par $- 14$ .

$16 x + 112 = x^{2} - 14 x - 14 x + 196$

Étape 6.3.1.3.2

Soustrayez $14 x$ de $- 14 x$ .

$16 x + 112 = x^{2} - 28 x + 196$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} - 28 x + 196 = 16 x + 112$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $16 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 28 x + 196 - 16 x = 112$

Étape 7.2.2

Soustrayez $16 x$ de $- 28 x$ .

$x^{2} - 44 x + 196 = 112$

Étape 7.3

Soustrayez $112$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 44 x + 196 - 112 = 0$

Étape 7.4

Soustrayez $112$ de $196$ .

$x^{2} - 44 x + 84 = 0$

Étape 7.5

Factorisez $x^{2} - 44 x + 84$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $84$ et dont la somme est $- 44$ .

$- 42, - 2$

Étape 7.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 42) (x - 2) = 0$

Étape 7.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 42 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 7.7

Définissez $x - 42$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.7.1

Définissez $x - 42$ égal à $0$ .

$x - 42 = 0$

Étape 7.7.2

Ajoutez $42$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 42$

Étape 7.8

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.8.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 7.8.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 42) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 42, 2$

Étape 8

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 + \sqrt{2 x - 3} = \sqrt{x + 7}$ vrai.

$x = 2$

Étape 9