Algèbre Exemples

${(x - 2)}^{2} = 10 (y - 3)$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Réécrivez l’équation comme $10 (y - 3) = {(x - 2)}^{2}$ .

$10 (y - 3) = {(x - 2)}^{2}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $10 (y - 3) = {(x - 2)}^{2}$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $10 (y - 3) = {(x - 2)}^{2}$ par $10$ .

$\frac{10 (y - 3)}{10} = \frac{{(x - 2)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 (y - 3)}{10} = \frac{{(x - 2)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $y - 3$ par $1$ .

$y - 3 = \frac{{(x - 2)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.3

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{{(x - 2)}^{2}}{10} + 3$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{10} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{1}{10} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$\frac{1}{10} \cdot ((x - 2) (x - 2)) + 3$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{10} \cdot (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 3$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{10} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 3$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{10} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{10} \cdot (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{10} \cdot (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{1}{10} \cdot (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 3$

Étape 1.2.1.1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{1}{10} \cdot (x^{2} - 4 x + 4) + 3$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{10} x^{2} + \frac{1}{10} (- 4 x) + \frac{1}{10} \cdot 4 + 3$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Associez $\frac{1}{10}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{1}{10} (- 4 x) + \frac{1}{10} \cdot 4 + 3$

Étape 1.2.1.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1.1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{1}{2 (5)} (- 4 x) + \frac{1}{10} \cdot 4 + 3$

Étape 1.2.1.1.5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{1}{2 (5)} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{10} \cdot 4 + 3$

Étape 1.2.1.1.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{1}{2 \cdot 5} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{10} \cdot 4 + 3$

Étape 1.2.1.1.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{1}{5} (- 2 x) + \frac{1}{10} \cdot 4 + 3$

Étape 1.2.1.1.5.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{- 2}{5} x + \frac{1}{10} \cdot 4 + 3$

Étape 1.2.1.1.5.4

Associez $\frac{- 2}{5}$ et $x$ .

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{- 2 x}{5} + \frac{1}{10} \cdot 4 + 3$

Étape 1.2.1.1.5.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1.1.5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{- 2 x}{5} + \frac{1}{2 (5)} \cdot 4 + 3$

Étape 1.2.1.1.5.5.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{- 2 x}{5} + \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 2) + 3$

Étape 1.2.1.1.5.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{- 2 x}{5} + \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 2) + 3$

Étape 1.2.1.1.5.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{- 2 x}{5} + \frac{1}{5} \cdot 2 + 3$

Étape 1.2.1.1.5.6

Associez $\frac{1}{5}$ et $2$ .

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{- 2 x}{5} + \frac{2}{5} + 3$

Étape 1.2.1.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{2}}{10} - \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} + 3$

Étape 1.2.1.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2}}{10} - \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} + 3 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 1.2.1.3

Associez $3$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2}}{10} - \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} + \frac{3 \cdot 5}{5}$

Étape 1.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2}}{10} - \frac{2 x}{5} + \frac{2 + 3 \cdot 5}{5}$

Étape 1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1.5.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{x^{2}}{10} - \frac{2 x}{5} + \frac{2 + 15}{5}$

Étape 1.2.1.5.2

Additionnez $2$ et $15$ .

$\frac{x^{2}}{10} - \frac{2 x}{5} + \frac{17}{5}$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{10}$

$b = - \frac{2}{5}$

$c = \frac{17}{5}$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{2}{5}}{2 (\frac{1}{10})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{10})}$

Étape 1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{5}$ dans le numérateur.

$d = \frac{- 2}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{10})}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{10})}$

Étape 1.2.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{10})}$

Étape 1.2.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{5} \cdot \frac{1}{\frac{1}{10}}$

Étape 1.2.4.2.3

Multipliez $\frac{- 1}{5}$ par $\frac{1}{\frac{1}{10}}$ .

$d = \frac{- 1}{5 (\frac{1}{10})}$

Étape 1.2.4.2.4

Associez $5$ et $\frac{1}{10}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{5}{10}}$

Étape 1.2.4.2.5

Annulez le facteur commun à $5$ et $10$ .

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Étape 1.2.4.2.5.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{5 (1)}{10}}$

Étape 1.2.4.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.5.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}}$

Étape 1.2.4.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1}{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}}$

Étape 1.2.4.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.4.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - 1 \cdot 2$

Étape 1.2.4.2.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{17}{5} - \frac{{(- \frac{2}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{10})}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{5}$ .

$e = \frac{17}{5} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{10})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{17}{5} - \frac{1 {(\frac{2}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{10})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{5}$ .

$e = \frac{17}{5} - \frac{1 \frac{2^{2}}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{10})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{17}{5} - \frac{1 \frac{4}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{10})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{17}{5} - \frac{1 (\frac{4}{25})}{4 (\frac{1}{10})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.6

Multipliez $\frac{4}{25}$ par $1$ .

$e = \frac{17}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{4 (\frac{1}{10})}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{10}$ .

$e = \frac{17}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{4}{10}}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $10$ .

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Étape 1.2.5.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e = \frac{17}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{2 (2)}{10}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$e = \frac{17}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{17}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{17}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{2}{5}}$

Étape 1.2.5.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{17}{5} - (\frac{4}{25} \cdot \frac{5}{2})$

Étape 1.2.5.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e = \frac{17}{5} - (\frac{2 (2)}{25} \cdot \frac{5}{2})$

Étape 1.2.5.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{17}{5} - (\frac{2 \cdot 2}{25} \cdot \frac{5}{2})$

Étape 1.2.5.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{17}{5} - (\frac{2}{25} \cdot 5)$

Étape 1.2.5.2.1.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.5.2.1.6.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$e = \frac{17}{5} - (\frac{2}{5 (5)} \cdot 5)$

Étape 1.2.5.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{17}{5} - (\frac{2}{5 \cdot 5} \cdot 5)$

Étape 1.2.5.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{17}{5} - \frac{2}{5}$

Étape 1.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{17 - 2}{5}$

Étape 1.2.5.2.3

Soustrayez $2$ de $17$ .

$e = \frac{15}{5}$

Étape 1.2.5.2.4

Divisez $15$ par $5$ .

$e = 3$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{10} {(x - 2)}^{2} + 3$ .

$\frac{1}{10} {(x - 2)}^{2} + 3$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{10} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{10}$

$h = 2$

$k = 3$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(2, 3)$

Étape 4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{10}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{10}}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $10$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2)}{10}}$

Étape 4.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}$

Étape 4.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}$

Étape 4.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{2}{5}}$

Étape 4.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 (\frac{5}{2})$

Étape 4.3.4

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $1$ .

$\frac{5}{2}$

Étape 5

Déterminez le foyer.

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Étape 5.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, \frac{11}{2})$

Étape 6