Algèbre Exemples

${(x + \frac{1}{2})}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(\frac{1}{2})}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(x)}^{3}$ par $1$ .

${(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} \cdot \frac{1^{0}}{2^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{3} \cdot \frac{1}{2^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{3} \cdot \frac{1}{1} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.5

Divisez $1$ par $1$ .

$x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.6

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.7

Simplifiez

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.8

Multipliez $3 x^{2} \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.8.1

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} + x^{2} \frac{3}{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.8.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{3}{2}$ .

$x^{3} + \frac{x^{2} \cdot 3}{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.9

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{3 \cdot x^{2}}{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.10

Simplifiez

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \cdot x \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.11

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x \cdot \frac{1}{2^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.13

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.14

Multipliez $3 x \frac{1}{4}$ .

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Étape 4.14.1

Associez $3$ et $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + x \frac{3}{4} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.14.2

Associez $x$ et $\frac{3}{4}$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 3}{4} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.15

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 \cdot x}{4} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.16

Multipliez ${(x)}^{0}$ par $1$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x}{4} + {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.17

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x}{4} + 1 \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.18

Multipliez ${(\frac{1}{2})}^{3}$ par $1$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x}{4} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Étape 4.19

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{1^{3}}{2^{3}}$

Étape 4.20

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2^{3}}$

Étape 4.21

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{1}{8}$