Algèbre Exemples

$3 x^{4} - 5 x^{2} + 25 = 0$

Étape 1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$3 u^{2} - 5 u + 25 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 5$ et $c = 25$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 25)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot 25}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 25$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 \cdot 25}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 300}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $300$ de $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 275}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $- 275$ comme $- 1 (275)$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 275}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (275)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{275}$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{275}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{275}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $275$ comme $5^{2} \cdot 11$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $275$ .

$u = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (11)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$u = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{11})}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.9

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$u = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{11}}{6}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{5 + 5 i \sqrt{11}}{6}, \frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}$

Étape 6

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = \frac{5 + 5 i \sqrt{11}}{6}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}$

Étape 7

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = \frac{5 + 5 i \sqrt{11}}{6}$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 5 i \sqrt{11}}{6}}$

Étape 8.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{5 + 5 i \sqrt{11}}{6}}$ .

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Étape 8.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{5 + 5 i \sqrt{11}}{6}}$ comme $\frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$

Étape 8.2.2

Multipliez $\frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Étape 8.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 8.2.3.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Étape 8.2.3.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Étape 8.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 8.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 8.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 8.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Étape 8.2.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6}$

Étape 8.2.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Étape 8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 8.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Étape 8.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Étape 8.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Étape 9

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 10.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = \frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}$

Étape 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}}$

Étape 10.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}}$ .

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Étape 10.3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}}$ comme $\frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$

Étape 10.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Étape 10.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 10.3.3.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Étape 10.3.3.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Étape 10.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 10.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 10.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 10.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 10.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 10.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Étape 10.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6}$

Étape 10.3.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Étape 10.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Étape 10.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Étape 10.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Étape 11

La solution à $3 x^{4} - 5 x^{2} + 25 = 0$ est $x = \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ .

$x = \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Étape 12