Algèbre Exemples

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{x - 4}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{x - 4}$ est indéfinie.

$x = 4$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 (x) - 5}{x - 4}$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 3$ plus $5$

$\frac{3 x^{2} + (- 3 + 5) x - 5}{x - 4}$

Étape 5.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - 3 x + 5 x - 5}{x - 4}$

Étape 5.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5}{x - 4}$

Étape 5.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{3 x (x - 1) + 5 (x - 1)}{x - 4}$

Étape 5.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (3 x + 5)}{x - 4}$

Étape 5.2

Développez $(x - 1) (3 x + 5)$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (3 x + 5) - 1 (3 x + 5)}{x - 4}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 5 - 1 (3 x + 5)}{x - 4}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Étape 5.2.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{x \cdot (3 x) + x \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Étape 5.2.5

Remettez dans l’ordre $x$ et $3$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Étape 5.2.6

Remettez dans l’ordre $x$ et $5$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + 5 \cdot x - 1 (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Étape 5.2.7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + 5 \cdot x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Étape 5.2.8

Multipliez $3$ par $x$ .

$\frac{3 x \cdot x + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Étape 5.2.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Étape 5.2.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Étape 5.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{1 + 1} + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Étape 5.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Étape 5.2.13

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 3 x - 1 \cdot 5}{x - 4}$

Étape 5.2.14

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 3 x - 5}{x - 4}$

Étape 5.2.15

Soustrayez $3 x$ de $5 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 5}{x - 4}$

Étape 5.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$4$

$3 x^{2}$

$2 x$

$5$

Étape 5.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$3 x$
	$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$

Étape 5.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			+	$3 x^{2}$	-	$12 x$

Étape 5.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{2} - 12 x$

				$3 x$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$

Étape 5.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$

Étape 5.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$

Étape 5.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $14 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$3 x$	+	$14$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$

Étape 5.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x$	+	$14$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$
					+	$14 x$	-	$56$

Étape 5.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $14 x - 56$

				$3 x$	+	$14$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$
					-	$14 x$	+	$56$

Étape 5.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x$	+	$14$
$x$	-	$4$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$14 x$	-	$5$
					-	$14 x$	+	$56$
							+	$51$

Étape 5.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$3 x + 14 + \frac{51}{x - 4}$

Étape 5.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 3 x + 14$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 4$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 3 x + 14$

Étape 7