Algèbre Exemples

$f (x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} + 8 x + 4$

Étape 1

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

$f (x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} + 8 x + 4$

Étape 2

Comme il y a $3$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $3$ racines positives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines positives sont déterminés en soustrayant des paires des racines $(3 - 2)$ .

Racines positives : $3$ ou $1$

Étape 3

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez $x$ par $- x$ et renouvelez la comparaison des signes.

$f (- x) = - 3 {(- x)}^{4} + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - 3 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Étape 4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- x) = - 3 (1 x^{4}) + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Étape 4.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Étape 4.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 (- x^{3}) - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Étape 4.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Étape 4.7

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 8 (- x) + 4$

Étape 4.8

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.8.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 x^{2}) + 8 (- x) + 4$

Étape 4.8.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 4.8.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) x^{2}) + 8 (- x) + 4$

Étape 4.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2 + 1} x^{2} + 8 (- x) + 4$

Étape 4.8.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{3} x^{2} + 8 (- x) + 4$

Étape 4.9

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} + 8 (- x) + 4$

Étape 4.10

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$

Étape 5

Comme il y a $1$ changement de signe du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $1$ racine négative (règle des signes de Descartes).

Racines négatives : $1$

Étape 6

Le nombre possible de racines positives est $3$ ou $1$ , et le nombre possible de racines négatives est $1$ .

Racines positives : $3$ ou $1$

Racines négatives : $1$