Algèbre Exemples

$f (x) = - 2 x^{3} (x - 1) (x + 5)$

Étape 1

Identifiez le degré de la fonction.

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Étape 1.1

Simplifiez et remettez le polynôme dans l’ordre.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- 2 x^{3} x - 2 x^{3} \cdot - 1) (x + 5)$

Étape 1.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.1

Déplacez $x$ .

$(- 2 (x \cdot x^{3}) - 2 x^{3} \cdot - 1) (x + 5)$

Étape 1.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(- 2 (x^{1} x^{3}) - 2 x^{3} \cdot - 1) (x + 5)$

Étape 1.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(- 2 x^{1 + 3} - 2 x^{3} \cdot - 1) (x + 5)$

Étape 1.1.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$(- 2 x^{4} - 2 x^{3} \cdot - 1) (x + 5)$

Étape 1.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$(- 2 x^{4} + 2 x^{3}) (x + 5)$

Étape 1.1.4

Développez $(- 2 x^{4} + 2 x^{3}) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x^{4} (x + 5) + 2 x^{3} (x + 5)$

Étape 1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x^{4} x - 2 x^{4} \cdot 5 + 2 x^{3} (x + 5)$

Étape 1.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x^{4} x - 2 x^{4} \cdot 5 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 1.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- 2 (x \cdot x^{4}) - 2 x^{4} \cdot 5 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 1.1.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 1.1.5.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{4}) - 2 x^{4} \cdot 5 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 1.1.5.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x^{1 + 4} - 2 x^{4} \cdot 5 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 1.1.5.1.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$- 2 x^{5} - 2 x^{4} \cdot 5 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 1.1.5.1.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$- 2 x^{5} - 10 x^{4} + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 1.1.5.1.3

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.5.1.3.1

Déplacez $x$ .

$- 2 x^{5} - 10 x^{4} + 2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 1.1.5.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.1.5.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 x^{5} - 10 x^{4} + 2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 1.1.5.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x^{5} - 10 x^{4} + 2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 1.1.5.1.3.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$- 2 x^{5} - 10 x^{4} + 2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 1.1.5.1.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$- 2 x^{5} - 10 x^{4} + 2 x^{4} + 10 x^{3}$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $- 10 x^{4}$ et $2 x^{4}$ .

$- 2 x^{5} - 8 x^{4} + 10 x^{3}$

Étape 1.2

Le plus grand exposant est le degré d’un polynôme.

$5$

Étape 2

Le degré étant impair, les extrémités de la fonction ont des sens opposés.

Impair

Étape 3

Identifiez le coefficient directeur.

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Étape 3.1

Simplifiez le polynôme, puis remettez dans l’ordre de gauche à droite en commençant par le terme de degré le plus élevé.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- 2 x^{3} x - 2 x^{3} \cdot - 1) (x + 5)$

Étape 3.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$(- 2 (x \cdot x^{3}) - 2 x^{3} \cdot - 1) (x + 5)$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 3.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(- 2 (x^{1} x^{3}) - 2 x^{3} \cdot - 1) (x + 5)$

Étape 3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(- 2 x^{1 + 3} - 2 x^{3} \cdot - 1) (x + 5)$

Étape 3.1.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$(- 2 x^{4} - 2 x^{3} \cdot - 1) (x + 5)$

Étape 3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$(- 2 x^{4} + 2 x^{3}) (x + 5)$

Étape 3.1.4

Développez $(- 2 x^{4} + 2 x^{3}) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x^{4} (x + 5) + 2 x^{3} (x + 5)$

Étape 3.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x^{4} x - 2 x^{4} \cdot 5 + 2 x^{3} (x + 5)$

Étape 3.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x^{4} x - 2 x^{4} \cdot 5 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 3.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.5.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- 2 (x \cdot x^{4}) - 2 x^{4} \cdot 5 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 3.1.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 3.1.5.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{4}) - 2 x^{4} \cdot 5 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 3.1.5.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x^{1 + 4} - 2 x^{4} \cdot 5 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 3.1.5.1.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$- 2 x^{5} - 2 x^{4} \cdot 5 + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 3.1.5.1.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$- 2 x^{5} - 10 x^{4} + 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 3.1.5.1.3

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.1.3.1

Déplacez $x$ .

$- 2 x^{5} - 10 x^{4} + 2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 3.1.5.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 3.1.5.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 x^{5} - 10 x^{4} + 2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 3.1.5.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x^{5} - 10 x^{4} + 2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 3.1.5.1.3.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$- 2 x^{5} - 10 x^{4} + 2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 5$

Étape 3.1.5.1.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$- 2 x^{5} - 10 x^{4} + 2 x^{4} + 10 x^{3}$

Étape 3.1.5.2

Additionnez $- 10 x^{4}$ et $2 x^{4}$ .

$- 2 x^{5} - 8 x^{4} + 10 x^{3}$

Étape 3.2

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$- 2 x^{5}$

Étape 3.3

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$- 2$

Étape 4

Comme le coefficient directeur est négatif, le graphe tombe vers la droite.

Négatif

Étape 5

Utilisez le degré de la fonction et le signe du coefficient directeur pour déterminer le comportement.

1. Pair et positif : monte vers la gauche et monte vers la droite.

2. Pair et négatif : descend vers la gauche et descend vers la droite.

3. Impair et positif : descend vers la gauche et monte vers la droite.

4. Impair et négatif : monte vers la gauche et descend vers la droite

Étape 6

Déterminez le comportement.

Monte vers la gauche et descend vers la droite

Étape 7