Algèbre Exemples

$y = \log_{4} (x) + 1$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \log_{4} (y) + 1$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\log_{4} (y) + 1 = x$ .

$\log_{4} (y) + 1 = x$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\log_{4} (y) = x - 1$

Étape 2.3

Réécrivez $\log_{4} (y) = x - 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$4^{x - 1} = y$

Étape 2.4

Réécrivez l’équation comme $y = 4^{x - 1}$ .

$y = 4^{x - 1}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \log_{4} (x) + 1$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{(\log_{4} (x) + 1) - 1}$

Étape 4.2.3

Associez les termes opposés dans $(\log_{4} (x) + 1) - 1$ .

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{\log_{4} (x) + 0}$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $\log_{4} (x)$ et $0$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{\log_{4} (x)}$

Étape 4.2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (4^{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4^{x - 1}) + 1$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x - 1$ de l’exposant.

$f (4^{x - 1}) = (x - 1) \log_{4} (4) + 1$

Étape 4.3.3.2

La base logarithmique $4$ de $4$ est $1$ .

$f (4^{x - 1}) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Étape 4.3.3.3

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x - 1 + 1$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 4.3.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (4^{x - 1}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \log_{4} (x) + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$